Для перевода величин к действующим необходимо:
Точечка над I
означает, что это комплекс.
Чтобы не путать с током, в электротехнике комплексная единица обозначается буквой «j».
Для заданного напряжения имеем:
В решении задач обычно оперируют действующими значениями.
В переменном токе вводятся новые элементы:
| L – [Гн] | ||
| Конденсатор [емкость] | С – [Ф] |  |
Их сопротивления (реактивные сопротивления) находятся как:
(сопротивление конденсатора — отрицательное)
Например, имеем схему, она подключена на напряжение 200 В, имеющего частоту 100 Гц. Требуется найти ток. Параметры элементов заданы:
Чтоб найти ток, необходимо напряжение разделить на сопротивление (из закона Ома). Здесь основная задача – найти сопротивление.
Комплексное сопротивление находится как:
Напряжение делим на сопротивление и получаем ток.
Все эти действия удобно проводить в MathCad. Комплексная единица ставится «1i» или «1j». Если нет возможности, то:
- Деление удобно производить в показательной форме.
- Сложение и вычитание – в алгебраической.
- Умножение – в любой (оба числа в одинаковой форме).
Также, скажем пару слов о мощности. Мощность есть произведение тока и напряжения для цепей постоянного тока. Для цепей переменного тока вводится еще один параметр – угол сдвига фаз (вернее его косинус) между напряжением и током.
Предположим, для предыдущей цепи нашли ток и напряжение (в комплексной форме).
Также мощность можно найти и по другой формуле:
В этой формуле — сопряженный комплекс тока. Сопряженный – значит, что его мнимая часть (та, что с j) меняет свой знак на противоположный (минус/плюс).
Re
– означает действительная часть (та, что без j).
Это были формулы для активной (полезной) мощности. В цепях переменного тока существует так же и реактивная мощность (генерируется конденсаторами, потребляется – катушками).
Im
– мнимая часть комплексного числа (та, что с j).
Зная реактивную и активную мощность можно подсчитать полную мощность цепи:
Для упрощенного расчета цепей постоянного и переменного тока, содержащих большое число ветвей, пользуются одним из упрощенных методов анализа цепей. Рассмотрим подробнее метод контурных токов.
Метод контурных токов (МКТ)
Данный метод подходит для решения схем, содержащих больше узлов, чем независимых контуров (например, схема из раздела про постоянный ток). Принцип решения состоит в следующем:
Данный метод, как и другие (например, метод узловых потенциалов, эквивалентного генератора, наложения) пригоден для цепей как постоянного, так и переменного тока. При расчете цепей переменного тока сопротивления элементов приводятся к комплексной форме записи. Система уравнений решается также в комплексной форме.
Литература
Решение электротехники на заказ
И помните, что наши решатели всегда готовы помочь Вам с ТОЭ. .
Задание на расчетно-графическую работу.
Для трехфазной цепи на рисунке 1, содержащей несинусоидальные периодические (T=1/f=1/50=0.02с), э.д.с. e A (t), e B (t), e C (t) равной амплитуды E m , отличающихся друг от друга только сдвигом во времени на t ф =2π/3ω=Т/3, необходимо получить:
Гармонический состав фазных э.д.с. – выражение первых трех ненулевых по значению составляющих из ряда Фурье.
Мгновенные значения линейных напряжений.
Мгновенные и действующие значения фазных и линейных токов
Среднюю за период мощность нагрузки (полную, активную, реактивную) и коэффициент мощности.
Действующее значение напряжения между нулевыми точками генератора и нагрузки в случае обрыва нейтрального провода, предварительно преобразовав схему в эквивалентную звезду.
Используя метод симметричных составляющих определить сопротивление Z 0 , Z 1 , Z 2 для всех учитываемых составляющих напряжений и токов при обрыве в фазе “ab”.
1. Исходные данные.
Em=180 B; Rab=45 Ом; Rbc=40 Ом; Rca=30 Ом; Cca=75мкФ; Lab=0,15 Гн;
частота основной гармоники f=50 Гц. Форма э.д.с. – прямоугольная.
Схема соединения нагрузки:
Рисунок 1. – Рассчитываемая схема
^
2. Разложение в ряд Фурье.
Получение гармонического состава фазных э.д.с. первых трёх ненулевых по значению составляющих из ряда Фурье произведём по данным нашего рисунка:
Рисунок 2. – Заданная несинусоидальная Э.Д.С.
Рисунок 3. – гармоники, составляющие напряжение eА(t)
Найдём действующее значение фазных напряжений:
На рисунке 4 представлена величина
eSt=eAt+eBt+eСt≠0
Её наличие подтверждает несимметричность заданной системы несинусоидальных трёхфазных э.д.с. Эта величина представляет собой сумму всех гармоник нулевой последовательности (в данном случае только гармоник третьего порядка).
Мгновенные значения линейных напряжений:
Найдём действующее значение линейных напряжений:
^
3. Расчёт сопротивлений:
Для нахождения линейных токов определим полных комплексные сопротивления первой, третьей и пятой гармоник.
ab: ,
Определим комплексные амплитуды гармоник тока фазы “ab”:
Определим комплексные амплитуды гармоник тока фазы “bс”:
Определим комплексные амплитуды гармоник тока фазы “са”:
Мгновенные значения фазных токов:
Рисунок 5. – Фазные токи
Действующие значения фазных токов:
Определим комплексные амплитуды гармоник тока линии “a”:
Определим комплексные амплитуды гармоник тока линии “b”:
Определим комплексные амплитуды гармоник тока линии “c”:
Мгновенные значения линейных токов:
Рисунок 6. – линейные токи
Действующие значения линейных токов:
^
5. мощности:
Активная мощность фазы “ab”:
Реактивная мощность фазы “ab”:
Коэффициент мощности фазы “ab”:
Активная мощность фазы “bc”:
Реактивная мощность фазы “bc”:
Коэффициент мощности фазы “bc”:
Активная мощность фазы “ca”:
Реактивная мощность фазы “ca”:
Коэффициент мощности фазы “ca”:
Общая активная мощность трёхфазной системы:
Общая реактивная мощность трёхфазной системы:
Полная мощность:
Полные кажущиеся мощности по фазам:
Полная кажущаяся мощность:
Кажущаяся полная мощность больше, чем реальная.
Обобщённый коэффициент мощности
^
6. Расчет смещения нейтрали:
Преобразование треугольника в эквивалентную звезду:
Сопротивление фазы “a”:
Сопротивление фазы “b”:
Сопротивление фазы “c”:
Определение комплексных амплитуд напряжения между нейтральными точками:
Действующее значение смещения нейтрали:
^
7. Разложение на симметричные составляющие:
Выберем в качестве аварийной ситуации разрыв фазы “ab”. Поскольку потенциал точек a, b и с зависит только от параметров источника, линейные напряжения останутся неизменными. Следовательно, ток в фазе “ab” окажется равен нулю, а оставшиеся фазные токи останутся без изменений.
Рисунок 9. – Схема с разрывом в фазе “a”
Разложение напряжений:
Первая гармоника:
Пятая гармоника:
Разложение токов:
Первая гармоника:
Пятая гармоника:
По закону Ома находим полные комплексные сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательности:
Первая гармоника:
Пятая гармоника:
Рисунок 10. – Первая гармоника напряжений
Рисунок 11. – Пятая гармоника напряжений
Рис12. Первая гармоника токов
Рис13. Пятая гармоника токов
Вывод: В ходе данной работы я сделал для себя вывод о том, что при выполнении сложных расчетов таких, как представлен выше, нужна практически абсолютная точность и внимательность, так как одна небольшая ошибка или неточность влечет за собой череду неверных результатов, что пагубно сказывается на конечном итоге работы.
Список литературы
Бессонов Л.А. . Учебник - М.: Гардарики 2000, 638 с.
Теоретические основы электротехники. TI. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. - М.: Высшая школа, 1976, 544 с.