Линия влияния строительная механика примеры. Строительная механика с примерами решения задач. Внутренние и внешние (опоры) связи. Линия влияния опорной реакции R E

Предисловие 4
Часть I. Статически определимые системы 6
Глава 1. Введение 6
§ 1. Строительная механика как наука. Краткий исторический обзор 6
§ 2. Новые задачи строительной механики в связи с развитием строительной индустрии. Расчетная схема 8
§ 3. Опорные устройства. Виды нагрузок 10
§ 4. Классификация сооружений и их расчетных схем. Основные положения 12
Глава 2. Анализ неизменяемости плоских сооружений 14
§ 5. Простейшие признаки неизменяемости шарнирно стержневых систем 14
§ 6. Анализ геометрической структуры сооружений расчленением на диски 19
§ 7. Системы в виде сочленения трех дисков 25
§ 8. Кинематические и статические признаки простейших мгновенно изменяемых ферм 27
§ 9. Аналитические методы исследования неизменяемости ферм 28
Глава 3. Теория линий влияния и ее применение к статически определимым балкам 31
§ 10. Понятие о линии влияния 31
§ 11. Линии влияния усилий в простых балках 32
§ 12. Определение усилий по линиям влияния 39
§ 13. Линии влияния при узловом действии нагрузки 41
§ 14. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок 43
§ 15. Кинематический метод построения линий влияния 46
§ 16. Невыгодное загружение линий влияния 48
§ 17. Определение усилий по эквивалентной нагрузке 52
§ 18. Матричная форма использования линий влияния. Матрица влияния 53
Глава 4. Балочные и консольно-балочные плоские фермы 55
§ 19. Понятие о ферме. Статическая определимость ферм 55
§ 20. Классификация ферм 57
§ 21. Способы определения усилий в фермах 60
§ 22. Расчет трехдисковых ферм на неподвижную нагрузку 66
§ 23. Расчет ферм с составными элементами 69
§ 24. Линии влияния усилий в простых балочных фермах 73
§ 25. Линии влияния усилий в фермах со шпренгелями 81
Глава 5. Расчет сплошной трехшарнирной арки 85
§ 26. Трехшарнирная арка со сплошной стенкой. Аналитическое определение реакций 85
§ 27. Определение усилий в сечении трехшарнирной арки. Эпюры моментов 88
§ 28. Линии влияния реакций и усилий в арке 92
§ 29. Определение напряжений в арке при помощи ядровых моментов 99
§ 30. Арка с затяжкой 102
Глава 6. Арочные фермы и комбинированные системы 103
§ 31. Расчет трехшарнирных арочных ферм 103
§ 32. Комбинированные системы. Арка с ломаной затяжкой 106
§ 33. Балка с гибкой аркой. Цепь с балкой жесткости 110
§ 34. Понятие о вантовых фермах и их расчет 115
Глава 7. Теория определения перемещений 116
§ 35. Перемещения. Работа внешних сил 116
§ 36. Теорема о равенстве возможных работ внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия 121
§ 37. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений 127
§ 38. Общая формула для определения перемещений 130
§ 39. Упрощение техники вычисления перемещений в балках и рамах 134
§ 40. Перемещения, вызванные изменением температуры 141
§ 41. Определение перемещений от осадки опор 144
§ 42. Теорема Кастильяно и принцип наименьшей работы 147
§ 43. Определение перемещений при помощи упругих грузов. Матричная форма 148
Глава 8. Пространственные фермы 155
§ 44. Понятие о пространственных фермах 155
§ 45. Виды опор и неизменяемость пространственных ферм 157
§ 46. Расчет пространственных ферм 164
Часть II. Статически неопределимые системы 169
Глава 9. Основы теории расчета статически неопределимых систем методом сил 169
§ 47. Статическая неопределимость 169
§ 48. Основные свойства статически неопределимых систем. Методы расчета 173
§ 49. Основная система при расчете рам методом сил. Канонические уравнения 174
§ 50. Построение эпюр поперечных и продольных сил в рамах 183
§ 51. Расчет простейших статически неопределимых систем на действие температуры и осадки опор 187
§ 52. Решение системы канонических уравнений способом Гаусса 192
§ 53. Решение системы линейных уравнений способом итерации 199
Глава 10. Статически неопределимые арки 200
§ 54. Законы изменения сечений арок 200
§ 55. Расчет двухшарнирной арки на неподвижную нагрузку 202
§ 56. Линии влияния распора и усилий в двухшарнирной арке. Эпюры усилий 206
§ 57. Построение линии влияния распора двухшарнирной арки методом упругих грузов 209
§ 58. Арка с затяжкой 211
§ 59. Расчет бесшарнирной арки на неподвижную нагрузку 213
§ 60. Линии влияния лишних неизвестных для бесшарнирной арки 218
§ 61. Линии влияния усилий в сечении бесшарнирной арки 224
§ 62. Расчет бесшарнирной арки на действие температуры и смещения опор 225
§ 63. Поперечная, продольная силы и изгибающий момент для круговой арки при радиальном давлении 227
§ 64. Определение перемещений круговой арки 229
Глава 11. Расчет сложных рам методом сил 236
§ 65. Упрощение расчета симметричных рам 236
§ 66. Замена произвольной несимметричной нагрузки прямосимметричной и обратносимметричной нагрузками 246
Глава 12. Расчет неразрезных балок 249
§ 67. Расчет неразрезных балок методом сил 249
§ 68. Расчет неразрезных балок методом моментных фокусов 254
§ 69. Линии влияния опорных моментов и усилий в сечении неразрезной балки 258
§ 70. Невыгоднейшие загружения и построение объемлющей эпюры моментов при действии распределенной нагрузки 265
Глава 13. Расчет статически неопределимых плоских ферм 268
§ 71. Общий ход расчета фермы при постоянной нагрузке 268
§ 72. Линии влияния лишних неизвестных и усилий в стержнях ферм 271
§ 73. Матричная форма расчета ферм 275
Глава 14. Расчет рам методом перемещений 277
§ 74. Кинематическая неопределимость рам 277
§ 75. Соотношения между концевыми моментами и угловыми деформациями 281
§ 76. Расчет рам по развернутой форме метода перемещений 290
§ 77. Уравнения метода перемещений в развернутой форме 294
§ 78. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений 299
§ 79. Расчет рам методом перемещений на действие температуры и осадку опор 302
§ 80. Построение линий влияния концевых моментов с применением метода перемещений 306
Глава 15. Специальные методы расчета рам 308
§ 81. Комбинированный метод 308
§ 82. Приближенные методы 309
Глава 16. Расчет сооружений по несущей способности 313
§ 83. Расчет по предельным состояниям 313
§ 84. Расчет простейшей статически неопределимой стержневой системы по предельному состоянию 317
§ 85. Методы расчета статически неопределимых стержневых систем по предельному состоянию 321
§ 86. Расчет статически определимых балок с учетом пластических деформаций 324
§ 87 Расчет статически неопределимых балок и рам с учетом развития пластических деформаций 328
Глава 17. Применение современных вычислительных машин 333
§ 88. Электронные цифровые вычислительные машины 333
§ 89. Расчет статически неопределимых систем с применением электромоделирующих устройств 340
Часть III. Устойчивость и основы динамики сооружений 344
Глава 18. Устойчивость стержневых систем 344
§ 90. Задачи и методы исследования устойчивости 344
§ 91. Общее уравнение упругой линии сжато-изогнутого стержня 349
§ 92. Определение критических сил методом начальных параметров 356
§ 93. Устойчивость стоек ступенчатого сечения и стержней с любыми граничными условиями 358
§ 94. Устойчивость стержня в упруго сопротивляющейся среде 361
§ 95. Устойчивость составных стержней 366
§ 96. Устойчивость многопролетного стержня на жестких опорах 367
§ 97. Расчет стержней на устойчивость при учете пластических деформаций 370
§ 98. Выражения концевых моментов стержня через угловые деформации 375
§ 99. Уравнения метода перемещений для сжато-изогнутых рам 377
§ 100. Определение критических нагрузок однопролетных симметричных многоэтажных рам 382
§ 101. Устойчивость плоской формы изгиба полосы 386
Глава 19. Основы динамики сооружений 389
§ 102. Виды колебаний 389
§ 103. Собственные колебания системы с одной степенью свободы 390
§ 104. Собственные колебания системы со многими степенями свободы 394
§ 105. Колебания рам. Приведенная масса 398
§ 106. Вынужденные периодические колебания системы с одной степенью свободы. Резонанс 401
§ 107. Вынужденные периодические колебания системы со многими степенями свободы 405
§ 108. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии непериодической нагрузки 408
§ 109. Удар груза по сооружению 411
§ 110. Поперечные колебания стержней с распределенной массой 416
§ 111. Продольные колебания стержней с распределенной массой 425
Часть IV. Пластинки и оболочки 429
Глава 20. Теория тонких пластин 429
§ 112. Общие положения 429
§ 113. Напряжения и усилия в пластинке. Уравнения равновесия 431
§ 114. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности пластинки 434
§ 115. Краевые условия для пластинок в различных случаях 436
§ 116. Простейшие случаи 439
§ 117. Шарнирно опертая по краям прямоугольная пластинка при действии произвольной распределенной нагрузки 442
§ 118. Расчет шарнирно опертой пластинки на действие равномерно распределенной нагрузки 445
§ 119. Общее решение для круглой пластинки 447
§ 120. Свободно опертая по краям круговая пластинка при действии равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенной силы 450
Глава 21. Расчет оболочек 452
§ 121. Расчет симметричной оболочки вращения на осесимметричную нагрузку 452
§ 122. Расчет оболочек вращения на произвольную нагрузку 456
§ 123. Расчет сферической оболочки на ветровую нагрузку 460
§ 124. Расчет цилиндрических оболочек по безмоментной теории 463
§ 125. Расчет тонкостенной трубы на изгиб от собственного веса 469
§ 126. Моментная теория цилиндрических оболочек 471
§ 127. Расчет цилиндрических оболочек по моментной теории 475
Приложение 478
Литература 483
Оглавление 484

Рассмотрим одну из наиболее простых статически определимых комбинированных систем (рис. 11.11, а). Вначале построим линию влияния усилия в затяжке 1-2. Для этого проведем сечение I-I и рассмотрим равновесие левой отсе-

Рис. 11.11

ченной части. Предполагая, что груз находится справа от сечения I-I, из равновесия левой части получим

откуда найдем

Линия влияния при грузе, находящемся правее сечения I-I, имеет такое же очертание, как линия влияния опорной реакции R A , которая представляет собой треугольник с ординатой над левой опорой, равной единице. В нашем случае но уравнению (11.3) над левой опорой необходимо отложить ординату 1/(2/) (рис. 11.11, б). Но полученная правая прямая действительна только на протяжении от опоры В до шарнира С. Под точкой С пересекутся левая и правая прямые. Ордината над точкой С будет //(4/). Таким образом, получим л. в. Я в виде треугольника (см. рис. 11.11,6).

Для определения изгибающего момента в точке k проведем в непосредственной близости от стойки сечение II-И. Из равновесия левой части при грузе правее сечения найдем

Итак, ординаты правой прямой состоят из ординат двух прямых: прямой, определяющей линию влияния R A в масштабе (ik, и прямой, являющейся линией влияния распора в масштабе /. Ордината в середине пролета будет

но aft = 1/4 , поэтому момент М* при единичном грузе, расположенном в середине пролета, равен -1/8; если груз Р = 1 стоит в точке k , то

По этим данным построена л. в. (рис. 11.11, в). На рис. 11.11, г показана линия влияния поперечной силы. Усилие в затяжке 1-2 проецируется на сечение k в ноль, поэтому величина Н не влияет на величину поперечной силы Qj,. Ее вид будет такой же, как для простой балки.

В рассмотренной линии влияния момента положение нулевой точки легко определить графически. На рис. 11.12 показано направление равнодействующих сил, приложенных к левой и правой частям, когда единичный груз находится в точке, которой соответствует равенство нулю момента М*. Каждая из равнодействующей приложена в точке пересечения горизонтальной силы Н и соответствующей опорной реакции. Равнодействующая, приложенная к правой части, обязательно пройдет через шарнир С, так как момент в шарнире равен нулю. Равнодействующая сил, приложенных к левой части, должна пройти через точку k, так как только в этом случае М* = 0. Там, где пересекутся две равнодействующие, и должен расположиться груз Р - 1. Под этим грузом и будет лежать нулевая точка л. в. М/,.

При расчете статически неопределимых комбинированных систем обычно применяется метод сил, по которому линия влияния лишнего неизвестного определяется как линия прогибов от единичного значения неизвестного, деленная на масштаб 5ц (см. п. 6.12).

Рис. 11.12

Особенностью расчета в этом случае является вычисление масштаба 5ц с учетом изгиба в балке жесткости и осевых сил в элементах цепи:

Все остальные вычисления проводятся по обычной схеме.

Рассмотрим систему, которая приведена в примере 2 предыдущего параграфа. Масштаб 6 И = 1839/(?/).

Для построения линии прогибов балки, по которой движется единичная сила Р = 1 (рис. 11.13, а), необходимо вычислить прогибы от трех единичных сил, которые передаются на балку от действия силы Х = 1 (рис. 11.13, б). Эту задачу можно решить, применяя метод фиктивных сил (см. и. 5.11).

Формула подсчета фиктивного груза имеет вид

При расстояниях между узлами, равных S n = 5, |+ | = d = 6, и при EJ = const получим

По эпюре М„ (см. рис. 11.9) найдем

Фиктивная балка для данной задачи представляет собой простую двухопорную балку. Найдя фиктивные моменты от загружения балки фиктивными грузами W (см. рис. 11.13, б), получим линию прогибов, которая изображена на рис. 11.13, в. При построении Мф мы придерживались принятого ранее правила знаков: 1) грузы W направляли в сторону растянутого волокна в эпюре М (которая была сверху); 2) эпюру Мф от грузов W, направленных вверх, строили также со стороны растянутого волокна. В результате Мф отложены вверх. Это означает, что прогибы от Х = 1 направлены вверх, т.е. в противоположном направлении от груза Р = 1,

Рис. 11.13

ОТ которого строится ЛИНИЯ ВЛИЯНИЯ. Поэтому эпюра Мф имеет знак «минус». В соответствии с формулой (11.3) получим л. в. (рис. 11.13, г); для этого все ординаты эпюры Мф разделим на 8ц и сменим знак на обратный.

В тех случаях, когда узлы цепи гибкой арки лежат на узлах квадратной параболы, линии влияния в других подвесках будут совпадать с л. в. Х. Рассмотрим равновесие произвольного узла гибкой арки, показанного на рис. 11.14. Усилия в элементах цепи обозначим N„ и М„ +1 . Ввиду того что цепь сжата, обе силы N направлены к узлу. Усилие в стойке направлено вниз. Составим сумму проекций на горизонтальную ось:

Из этого равенства следует, что узел п уравновешивается двумя проекциями сил N, которые равны распору. Отсюда найдем

Проецируя все силы на вертикаль, запишем

Подставляя сюда значения сил N согласно равенству (11.4) и определяя усилие в стойке, найдем

Построим л. в. распора Я. Из равенства (11.6) найдем

Таким образом, линия влияния распора Я будет иметь такой же вид, как и л. в. Х. Все ординаты л. в. Я получатся из ординат л. в. Х путем деления их на разность тангенсов углов наклона примыкающих к узлу п элементов цени.

Рассмотрим теперь случай, когда узлы гибкой арки располагаются на оси квадратной параболы. В этом случае разность тангенсов углов наклона есть величина постоянная и равная 8fd/l 2 , где d - расстояние между подвесками. Поэтому из выражения (11.6) получим

Из выражений (11.4) и (11.8) следует, что построенная л. в. Х { подобна линиям влияния усилий N и распора Я. Для перехода от л. в. Х { к л. в. N надо все ординаты л. в. Х разделить на соответствующий косинус угла (р, а для получения л. в. Я - умножить на

l 2 /(8fd).

Построим теперь линию влияния изгибающего момента в сечении под первой стойкой по формуле Mk = Ml +МХ в этой точке М = -9 (см. рис. 11.9).

На рис. 11.15 показаны комбинированная система, линия влияния Ml в основной системе и окончательная линия влияния момента в точке k.

Вычисления целесообразно проводить в табличной форме (табл. 11.3).

Как построить линии влияния? Строительная механика основывается на кинематическом способе Лагранжа. Его основная суть заключается в том, что в системе, которая находится в состоянии полного равновесия, результирующая всех сил на незначительных перемещениях равна нулю.

Специфичность метода

Чтобы построить линии влияния реакции, изгибающего момента, поперечной силы для заданного сечения балки, используется определенный алгоритм действий. Для начала удаляют связь. Кроме того, убирают линии влияния внутреннего усилия, вводят необходимое усилие. В результате подобных манипуляций заданная система будет механизмом, обладающим одной степенью свободы. В том направлении, где рассматривается внутреннее усилие, вводят незначительное перемещение. Его направление должно быть аналогично внутреннему усилию, только в таком случае будет совершаться положительная работа.

Примеры построений

На основе принципа перемещений записывают уравнение равновесия, при его решении вычисляют линии влияния, определяют необходимое усилие.

Рассмотрим пример таких расчетов. Строим линии влияния поперечной силы в некотором сечении А. Чтобы справиться с поставленной задачей, необходимо построить эпюру перемещений данной балки от одинарного перемещения в направлении убранной силы.

Формула для определения усилий

Построение линий влияния осуществляется с применением специальной формулы. Она связывает искомое усилие, величину сосредоточенной силы, которая действует на балку, с площадью фигуры, образованной линией влияния и осью эпюры под нагрузкой. А также с показателем изгибающего момента и тангенса угла линии влияния усилий и нейтральной осью.

Если направление распределительной нагрузки и сосредоточенной силы совпадают с направлением подвижной единичной силы, они имеют положительное значение.

Изгибающий момент будет положительной величиной в том случае, когда его направление совпадает с движением часовой стрелки. Тангенс будет положительным при значении угла поворота менее прямого угла. При проведении вычислений используют со своими знаками величину ординат и площади линии влияния. Строительная механика основывается на статистическом методе построения эпюр.

Определения

Приведем основные определения, которые необходимы для выполнения качественных чертежей и расчетов. Линия влияния - это линия, которая связывает внутреннее усилие и перемещение единичной подвижной силы.

Ординаты демонстрируют изменение анализируемого внутреннего усилия, появляющегося в определенной точке на балке при передвижении по длине единичной силы. Они показывают изменение в разных точках рассматриваемого внутреннего усилия при условии использования внешней неподвижной нагрузки. Статистический вариант построение базируется на записи уравнений равновесия.

Два варианта построения

Построение линий влияния в балках и изгибающего момента возможно в двух случаях. Сила может располагаться справа или слева относительно используемого сечения. При левом расположении от сечения силы при проведении расчетов выбирают силы, которые будут действовать правее. При ее правом действии считают по левым силам.

Многопролетные балки

В мостах, к примеру, при передаче внешней нагрузки на несущую часть всей строительной конструкции используются вспомогательные балки. Главной балкой называют ту, что является несущей основой. Поперечными считают балки, располагающиеся к главной под прямым углом.

Вспомогательными (однопролетными) именуют балки, к которым и прилагается внешняя нагрузка. Такой вариант передачи на основную балку нагрузки считается узловым. Панелью считают участок, расположенный между двумя ближайшими узлами. А они представлены в виде точек главной оси, к которым подходят поперечные балки.

Особенности

Что собой представляет линия влияния? Определение данного термина в балке связано с графиком, который показывает изменение анализируемого фактора при передвижении единичной силы по балке. В его качестве может выступать поперечная сила, изгибающий момент, опорная реакция. Любая ордината линий влияния демонстрирует размер анализируемого фактора в тот момент времени, когда сила располагается над ней. Как построить линии влияния балки? Основывается статистический способ на составлении уравнений статистики. Например, для простой балки, находящейся на двух шарнирных опорах, характерна сила, передвигающаяся по балке. Если выбрать определенное расстояние, на котором она функционирует, можно построить линии влияния реакции, составить уравнение моментов, построить по двум точка график.

Кинематографический способ

Может быть на основе перемещений построена линия влияния. Примеры таких графиков можно найти в тех случаях, когда изображают балку без опоры, чтобы механизм мог перемещаться в положительном направлении.

Для построения линии влияния определенного изгибающего момента необходимо врезать в имеющееся сечение шарнир. В таком случае полученный механизм будет поворачиваться на единичный угол в положительном направлении.

Построение линии влияния при поперечной силе возможно при врезке в сечение ползуна и раздвигании балки на единицу в положительном направлении.

Можно с помощью кинематографического способа построить линии изгибающего момента и поперечной силы в консольной балке. С учетом неподвижности левой части в подобной балке рассматривается движение только для правой части в положительном направлении. Благодаря линиям влияния по формуле можно рассчитать любые усилия.

Расчеты при кинематографическом способе

При расчетах по кинематическому способу используют формулу, связывающую число опорных стержней, количество пролетов, шарниров, степени свободы поставленной задачи. Если при подстановке заданных значений свободы будет равно нулю, статистически задачу можно определить. Если данный показатель будет иметь отрицательное значение, задача статистически невыполнима, при положительной величине степеней свободы выполняется геометрическое построение.

Для того чтобы было удобнее проводить расчеты, иметь наглядное представление об особенностях работы дисков в многопролетной балке, строят поэтажную схему.

Для этого меняют на шарнирно-неподвижные опоры все исходные шарниры, имеющиеся в балке.

Разновидности балок

Предполагается несколько типов многопролетных балок. Специфичность первого типа состоит в том, что во всех пролетах, за исключением первого, используются шарнирно-подвижные опоры. Если вместо шарниров использовать опоры, будут образовываться однопролетные балки, в которых каждая будет опираться на консоль рядом стоящей.

Для второго типа характерно чередование пролетов, которые обладают двумя шарнирно-подвижными опорами, с пролетами без опор. В таком случае поэтажная схема на консоли центральных балок базируется на балках-вставках.

Кроме того, существуют и такие балки, в которых совмещаются два предыдущих типа. Чтобы обеспечить статистическую определимость балок-вставок, переносят между опорой на правую соседнюю балку. Нижний этаж в поэтажной схеме будет представлен основной балкой, а второстепенные балки применяют для верхнего этажа.

Эпюры внутренних силовых факторов

С помощью поэтапной схемы можно выполнять построение эпюры для отдельной балки начиная с верхнего этажа и завершая нижними построениями. После того как будут завершены построения силовых внутренних факторов для верхнего этажа, нужно поменять все найденные значения реакции опор на противоположные по направлению силы, затем приложить их в поэтажной схеме к нижнему этажу. При построении на нем эпюр пользуются заданной нагрузкой сил.

После завершения построения эпюр силовых внутренних факторов осуществляется статистическая проверка полной многопролетной балки. При проверке должно выполняться условие, согласно которому сумма всех реакций опор и заданных сил равна нулю. Также важно провести анализ соблюдения дифференциальной зависимости для отдельных участков используемой балки.

В графике, который выражает закон изменения либо силового внутреннего фактора в конкретном (заданном) сечении здания, функции от расположения передвигающегося отдельного груза называют линией влияния. Чтобы построить их применяют уравнение статистики.

Для определения силовых внутренних факторов вычисления реакций опор по определенным линиям влияния используются графические построения.

Значение вычислений

В широком значении строительная механика рассматривается в качестве науки, которая занимается разработкой методов расчета и принципов проверки конструкций и сооружений на устойчивость, прочность, а также на жесткость. Благодаря качественным и своевременным расчетам на прочность можно гарантировать безопасность работы возведенных сооружений, полную стойкость их к внутренним и внешним усилиям.

Для достижения желаемого результата применяется сочетание экономичности и долговечности.

Расчеты на устойчивость позволяют выявлять критические показатели внешних воздействий, гарантирующие сохранность заданной формы равновесия и положения в деформированном состоянии.

Расчеты на жесткость заключаются в выявлении разнообразных вариантов деформаций (осадок, прогибов, вибраций), из-за которых исключается полноценная эксплуатация сооружений, возникает угроза прочности конструкций.

Для того чтобы не возникало аварийных ситуаций, важно проводить подобные вычисления, анализировать соответствие полученных показателей предельно допустимым значениям.

В настоящее время строительная механика применяет огромное количество разнообразных надежных методик расчетов, которые прошли детальные испытания строительной и инженерной практикой.

Учитывая постоянную модернизацию и развитие строительной отрасли, включая и ее теоретическую базу, можно вести речь о применении новых надежных и качественных способов построения чертежей.

В узком понимании строительная механика связана с теоретическими расчетами стержней, брусьев, которые образуют сооружение. В качестве базы для строительной механики выступают фундаментальная физика, математика, экспериментальные исследования.

Расчетные схемы, которые применяются в строительной механике для каменных, железобетонных, деревянных, металлических конструкций, позволяют избегать недоразумений во время возведения зданий и сооружений. Только при правильном предварительном построении чертежей можно вести речь о безопасности и надежности создаваемых сооружений. Построение линий влияния в балках является довольно серьезным и ответственным мероприятием, ведь от точности действий зависит жизнь людей.

При расчете строительных конструкций нередко приходится иметь дело с нагрузками, которые могут занимать на ней разные положения. Например, это может быть тележка крана на подкрановой балке, нагрузка проходящего поезда или скопления людей на ферме моста и т.п. Все эти нагрузки представляют собой, как правило, систему сосредоточенных вертикальных грузов с фиксированным расстоянием друг от друга. Предполагается, что нагрузки лишь изменяют свое положение, но не создают динамического эффекта.

Линией влияния (л.в.) какого-либо расчетного усилия (опорной реакции, изгибающего момента или поперечной силы) в заданном сечении балки называют график, отражающий закон изменения этого усилия в зависимости от положения на балке груза F = 1.

Линии влияния позволяют легко определить усилия в сечении, для которого они построены от любых нагрузок в произвольной комбинации.

Проще всего построение л.в. можно осуществить, используя статический способ. Он состоит в том, что из уравнений равновесия находят формулу (закон) изменения усилия в рассматриваемом сечении, для которого строится л.в., при любом положении груза F= 1 . Положение груза определяется в произвольно выбранной системе координат. В балках за начало отсчете принимают обычно левую опору А.

Л.в. опорных реакций V A и V B балки с консолями (рис.2.5).

Из уравнений равновесия можно получить формулы для V A иV В:

Уравнение л.в. V A 0;V А . l - 1(l -x)= 0V А =

Уравнение л.в.V в
0; -V B . l + 1 . x=0V B =

Каждое из этих уравнений - это уравнение прямой линии (xв первой степени). Графики можно построить, определив опорные реакции в двух точках

при x=0V A = 1,V B =0,

при x=lV A = 0,V B =1.

Положительный знак означает, что соответствующая реакция направлена вверх. При положении груза F=1 на дальней от опоры консоли опорная реакция меняет знак, так как направлена вниз.

Чтобы сразу оценить полезность таких графиков, зададимся вопросом, что будет, если на балке в каком то месте стоит не единичный груз, а сосредоточенная сила, например, мешок с цементом 0,5 кн.? Нужно умножить эту силу на ординату линии влияния (например, л.в.V A) под нагрузкой и сразу, без составления уравнений равновесия получить значение опорной реакцииV A .

Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в каком либо сечении балки получают аналогично. Они функционально связаны с линиями влияния

опорных реакций.

Линия влияния изгибающего момента М к 1 в сечении к 1 ,расположенного в пролете балки (рис.2.6).

Рассматривают два случая расположения единичного груза: левее заданного сечения к 1 и правее него. Выражение для момента М к1 получают из уравнения равновесия.Составляют уравнение для той части балки, на которой грузF=1 отсутствует.

1.Пусть груз F=1 расположен левее сечения к 1 .Рассматривая равновесии правой части балки получим: М к1 =
=b . Эта формула определяет левую ветвь л.в. М к1 от сечений к 1 до конца левой консоли

2. Пусть груз F=1 расположен правее сечения к 1 . Тогда М к1 =
=a . Эта формула определяет правую ветвь л.в. М к1 .

Таким образом, ординаты правой ветви равны увеличенным в а раз ординатам линии влияния опорной реакцииV А, а ординаты левой ветви – ординатам л.в.V B , увеличенным вb раз. Левая и правая ветви пересекаются над сечением к 1 .(рис. 2.6).

Каждая ордината этого графика дает значение изгибающего момента в сечении к 1 , когда грузF=1 располагается на балке в месте, соответствующем этой ординате. Отличие от эпюры моментов состоит и в том, что положительные ординаты откладываются над осью балки.

Итак, построение л.в. изгибающего момента в заданном сечении к двухопорной балки сводится к следующему простому алгоритму:

На левой опоре вверх откладывают отрезок, равный расстоянию от этой опоры до сечения. Этот отрезок можно откладывать в любом удобном масштабе.

Конец отрезка соединяют с правой опорой

На полученную прямую сносят сечение. На рис. 2.6 эта точка показана звездочкой.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.

Линия влияния поперечной силы Q к1 (ри2.7)

Опираясь на определение поперечной силы в балках, как проекции всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения на нормаль к оси балки, нетрудно получить формулы для левой и правой ветвей л.в.Q л1 .

1. Груз F=1 левее сеченияк 1 : Q к1 = -(V В)=-левая ветвь,

2. Груз F=1 правее сечения к 1: Q к1 =V А =- правая ветвь.

Порядок построения л.в. поперечной силы для сечения к сводится к следующим действиям:

На левой опоре вверх откладывают отрезок равный единице (рис.2.7)

на правой опоре вниз откладывают отрезок равный единице.

Соединяют концы отрезков с противоположными опорами.

На полученный параллелограмм сносят сечение.

Если у балки есть консольные участки, то правую ветвь л.в. продолжают по прямой до конца правой консоли, а левую ветвь - до конца левой консоли

Линии влияния момента и поперечной сил для сечения к 2, расположенного на консольной части балки (рис.2.8), легче всего строить, опираясь лишь на определения изгибающего момента и поперечной силы в балке.

Рассмотрим, например, сечение к1 на правой консоли.

Будем задавать положение груза F=1 координатой x с началом отсчета в сечении к 2 , направляя ось вправо (см. рис.2.5)

Линия влияния М к1 . .

1. Груз F=1 левее сечения к 2: М к2 =0 (Рассматривая правую ненагруженную часть консоли устанавливаем на основании определения момента, что М к2 =0)

2.Груз F=1 правее сечения к 2: М к2 =-1 . x .

Линия влияния М к2 показана на рис.2.8

Линия влияния Q к2 (рис.2.9)

1. Груз F=1 левее сечения к 2: Q к2 =0

2. Груз F=1 правее сечения к 2: Q к2 =1

Cравнивая эпюры изгибающих моментов М и поперечных силQcлиниями влияния М иQ, следует отметить, что они принципиально различны.

Ординаты эпюр усилий характеризуют напряженное состояние всей системы, в любом сечении от одной конкретной заданной нагрузки. При другом положении нагрузки расчет нужно проводить заново и строить новые эпюры.

Ординаты линии влияния, наоборот, характеризуют величину и изменение усилия в одном сечении, для которого построена эта линия влияния, в зависимости от положения единичной силы.

Определение усилий по линиям влияния. Загружение линий влияния.

Ординаты различных линий влияния имеют разную размерность. Действительно, чтобы получить по линии влияния опорную реакцию или поперечную силу, нужно умножить эту силу на ординату л.в. под силой и не забыть о ее знаке этой ординаты. Отсюда следует, что ординаты линий влияния опорных реакций и поперечных сил безразмерны. Ординаты линий влияния изгибающих моментов имеют размерность длины.

Линии влияния, построенные от единичного вертикального груза, позволяют найти соответствующее усилие от любой реальной нагрузки, действующей на балку.

Рассмотрим три самые распространенные случая нагружения.

1.Влияние неподвижной цепочки сосредоточенных грузов (рис.2.10).

Применяя принцип независимости действия сил, можно выразить влияние всех сил, как сумму влияний каждой из них в отдельности. На рис. 2.10 показан участок какой то линии влияния усилияS(это может быть опорная реакция, момент или поперечная сила). Влияние каждой силы определяется произведением этой силы на ординату л.в. в месте ее приложения. Влияние цепочки сил может быть представлено в виде суммы

S = F 1 y 1 + F 2 y 2 + …+F n y n =
(1.2)

Следовательно, надо сосредоточенные внешние нагрузки умножить на ординаты л.в., расположенные под этими нагрузками (со своим знаком!) и результаты сложить,

2. Влияние неподвижной равномерно распределенной нагрузки, интенсивностью q(рис.2.11).э

Рис.2.11

Распределенную нагрузку на участке л.в., отмеченной на рисункеab, можно представить как цепочку сосредоточенных грузовqdx. Чтобы просуммировать влияние всех этих элементарных грузовqdx, нужно взять определенный интеграл в пределах от а доb

S=
. (2.2)

Буквой обозначена площадь линии влияния под нагрузкой.

Итак, чтобы определить по л.в. усилие от равномерно распределенной нагрузки интенсивность нагрузки qнужно умножить на площадь л.в. под нагрузкой (площадь понимается алгебраически - учитываются знаки участков л.в.).

3.Влияние сосредоточенного момента (рис.2.12)

Задача сводится к загружению сосредоточенными силами, если момент

представить в виде пары сил с плечом, равным единице. В этом случае каждая сила будет равна по величине М.

Влияние момента записывается как для цепочки грузов

Рис.2.12

S= _ My 1 +My 2 ,

Это выражение можно переписать так

S=M
.

Из рис.2.12 видно, что второй (дробный) множитель равен
- тангенсу угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения сосредоточенного момента, т.е

S=M
. (3.2)

Чтобы учесть влияние сосредоточенного момента нужно умножить его на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в сечении, где он действует. При этом принимается следующее правило знаков: момент, действующий по часовой стрелке, считается положительным; угол , отсчитываемый против часовой стрелки, принят положительным.На рис. 2.12 уголположительный.

Линии влияния расчетных усилий в многопролетных шарнирных балках.

Чтобы построить л.в. в многопролетной шарнирной балке, необходимо, прежде всего, построить поэтажную схему, схему взаимодействия отдельных ее элементов. Из поэтажной схемы следует, что единичная сила оказывает влияние на усилие в сечении только тогда, когда она находится на “этаже”, на котором это сечение задано, или на более высоких “этажах”.

Поэтому построение л.в. проводят в два этапа.

1.Строят л.в. на том этаже, на котором задано сечение по правилам построения л.в. для одиночной балки.

2.Учитывают влияние верхних этажей.

Построим, например, л.в. изгибающего момента для сечения I–Iв балке, показанной на рис.2..13, на котором изображена и поэтажная схема.

Так как сечение задано на основной балке АС, то строим л.в. момента как для однопролетной балки с консолью, руководствуясь правилом, изложенным на стр.20.

На втором этапе находятся нулевые точки л.в.на верхних “этажах”, которые и позволяют довести решение задачи до конца. При перемещении груза F=1 по балке второго “этажа” СЕ вправо опорная реакция на опоре С будет линейно уменьшаться и, следовательно будут уменьшаться давление на нижний этаж. Когда единичная сила, займет положение над опорой на "землю"D,то она будет воспринята этой опорой, опорная реакция на опоре С будет равна нулю, давление на нижний этаж передаваться не будет и момент в сеченииI–Iбудет равен нулю. Проведя прямую линию, соединяющую конец отрезка на консоли ВС и найденную нулевую точкуD

и продолжая ее до конца консоли второго этажа Е, получают второй участок л.в.

Поднимем груз F= 1 на третий “этаж”. Рассуждая аналогичным образом, устанавливаем, что при положении груза над опоройFопорная реакция на опоре Е будет равна нулю и нижние “этажи” выключаются из работы., то есть М I - I равен нулю. Соединим конец отрезка л.в на конце консоли второго “этажа” Е с нулем на опореF, закончим построение л.в. М I - I . (рис2.13с).

Все ординаты л.в. определяются из подобия треугольников. Опорными значениями служат ординаты на том этаже, на котором задано сечение.

Изложенные правила и приемы позволяют легко построить и л.в. поперечной силы Qв том же сеченииI–I.(рис.2.13d).

Построенные л.в. позволяют найти расчетные усилия в сечении I–Iот любой заданной нагрузки.

Найдем, например, М I - I иQ I - I от нагрузки, показанной на рис.2.13е.

Q I-I - 1.928 кН.

Пример решения задачи №1 контрольного задания.

Задана двухпролетная шарнирная балка и действующая на нее нагрузка(Рис.2.14)

Требуется

1.Построить эпюры М и Q.

2.Построить линии влияния R B ,М К и Q К для сеченияк и определить по ним опорную реакцию R В,М К, и Q К от заданной нагрузки.

1. Построение эпюр М и Q.

1.1 Выделяя "главные балки" (АВ и ДЕ) и "второстепенную" (СД),строят "поэтажную схему"(рис.2.15)

1.2 Начинают расчет с балки верхнего этажа (рис.2.16)

Балка CD /

Силу F 2 при расчете балки СД не учитываем, так как она на изгиб балки не влияет. Равномерно распределенная нагрузка оказывает одинаковое давление на опоры С иD. Поэтому

V C = V D = ql /2 = 2,4 . 3/2=3,6kH

Нужно твердо знать формулу для вычисления изгибающего момента в середине пролета равномерно загруженной балки

M max =ql 2 /8 = 2,4 . 3 2 /8 = 2,7 кНм.

1.3 Последовательно рассчитывают балки нижнего этажа.

Балка АВ (рис.2.17)

Опорные реакции определяют из условий равновесия

На конце левой консоли действует сосредоточенная сила равная сумме двух сил: силы F 2 = 2 кН и перевернутой опорной реакции балки верхнего этажаV с = 3.6 кН.

 М B =0; -6-14 . 2 + V A 4 + (2+3,6) . 1,5=0

V A = 6,40 кН;

M A = 0: - 6 +14
-V B
+ 5,6
=0

Проверка

y=0; 6,40-14 + 13,2-(2+3,6)=19,6 – 19,6 =0

Подсчитывают М и Q в характерных сечениях. Изгибающий момент М в каком либо сечении равен сумме моментов всех сил, действующих по одну сторону от этого сечения. Поперечная сила в каком либо сечении равна сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения.

М A =- 6 кНм, М c ередина пролета АВ =- 6+6,4 . 2 = 6,80 кНм;

М К = - 6+ 6,4
- 14
3кНм М B = - (2+3,6) . 1,5 = - 8,40 кНм.

Q прав A =V A =6,40кН, Q прав серед.пролета АВ =V A = 6,40кН;

Q лев середина пролета АВ = 6,40-14 = -7,60кН;Q K = 6,4 – 14 = - 7,60 кН

Q прав B =-7,60+13,20=5,6 кН

Эпюру изгибающих моментов строим со стороны растянутых волокон и знаков можно не ставить. На эпюре поперечных сил знаки ставят обязательно.

Балка DE (рис. 2 .18)

Эпюры внутренних усилий М и Q в консольной балке удобно строить, начиная со свободного конца консоли, не определяя опорных реакций.

Рис.2.18

На участке, где действует равномерно распределенная нагрузка, моменты можно вычислять в трех точках: по концам и в середине участка. При вычислении изгибающего момента равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей.

М середине консоли =-3,6 . 1,25 - 2,4 . 1,25 . 0,625=- 6,375 кНм

М E =-3,6 . 2,5-2,4 . 2,5 . 1,25=- 16,50 кНм

Q E =-3,6-2,4 . 2,5=-9,6 кН.

Составляя эпюры, построенные для отдельных элементов, изображая ординаты в одном, удобном масштабе, строят окончательные эпюры М и Q.(Рис.2.19)

2. Построение линий влияния и определение по ним V В , M k и Q k от

заданной нагрузки.

Ориентируясь на «поэтажную» схему строят л.в. для балки АВ, а затем учитывают влияние верхнего этажа СD (рис.2.20).

Построение л.в.М л. на основной балке АВ.

На левой опоре вверх откладывают отрезок длиной, равной расстоянию от опоры А до сечения к.

Конец отрезка соединяют с правой опорой.

На полученную линию сносят сечение.

Точку пересечения соединяют с левой опорой.5

Левую и правую ветви л.в. продолжают до конца левой и правой консольной части балки

Если единичный груз находится на верхнем этаже, то давление на основную балку передается только через опору С. Когда груз расположится на опоре D, то опорная реакцияV c будет равна нулю и основная балка выключается из работы.. Поэтому влияние верхнего этажа на расчетные усилия в сечениик отражается прямой, соединяющей конец отрезка (ординаты) л.в. в точке С с точкойD.

На участке DEординаты обеих л.в.равны нулю: нагрузка, действующая на нижнем этаже не влияет на напряженное состояние другого нижнего этажа (АВ)

Линии влияния М и Qпоказаны на рис.2.20.

Определение М k и Q k по линиям влияния.

По правилам, изложенным на стр. 22-23, найдем расчетные величины усилий в сечении к от нагрузки, изображенной на рис.2.14.

Сосредоточенные силы умножаем на ординаты л.в. под этими силами, интенсивность нагрузки qумножаем на площадь л.в. под нагрузкой и сосредоточенный момент - на тангенс угла наклона л.в. к оси балки в месте приложения момента.

M k = - 6 . 0,30,8+14 . 0,75+2 (-0,9375)+2,4 (-0,9375 . 32) = 3,0kHм

Q k =-6 (-0,20,8) + 14 (-0,5) + 2 (-0,375) + 2,4 (-0,375 . 32) = -7,6 kH

Сравнивая полученные значения с величинами, полученными при построении эпюр, убеждаемся в их полном совпадении.

5. Линии влияния и их применение для расчета

статически определимых балок

5.1. Нагрузки и внутренние силовые факторы

Сопротивление материалов рассматривает только однопролетные балки при действии на них неподвижных нагрузок . В курсе строительной механики рассматриваются эти же балки, но при действии на них и подвижных нагрузок , а также многопролетные статически определимые балки, фермы и арки при действии на них подвижных и неподвижных нагрузок.

Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 5.1, а ), поезд, движущийся по мосту; кран, движущийся по подкрановой балке и др. Его можно рассматривать как систему взаимосвязанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 5.1, б ). При этом усилия (а также напряжения и деформации) зависят от положения подвижной нагрузки. Для определения расчетных значений усилий необходимо из всех возможных положений нагрузки выбрать такое, при котором рассчитываемый элемент будет находиться в самых неблагоприятных условиях. Такое положение нагрузки называется невыгоднейшим , или опасным.

Рис. 5.1

5.2. Методырасчета сооружений на подвижную нагрузку

Подвижная нагрузка вызывает в элементах сооружения переменные внутренние усилия. Расчет сооружения на подвижную нагрузку, даже без учета динамических эффектов (например, ускорений и инерционных сил), сложнее расчета на постоянную нагрузку. Потому что приходится решать несколько задач:

1) определять наиболее опасное (расчетное) положение нагрузки;

2) определять наибольшее (расчетное) значение этой нагрузки;

3) рассчитывать сооружение на расчетную нагрузку.

Расчет на подвижную нагрузку можно вести двумя методами.

Общий метод . Сущность метода : подвижная нагрузка рассматривается целиком и обозначается одной координатой; искомое внутреннее усилие выражается как функция этой координаты; эта функция исследуется на экстремум и определяется расчетное положение нагрузки; затем вычисляется расчетное значение внутреннего усилия.

Этот метод универсален, но сложен для реализации.

Метод линий влияния . Сущность метода : искомая величина (внутреннее усилие, реакция и др.) определяется как функция от подвижной единичной силы; строится график этой функции, а затем находятся расчетное положение и расчетное значение этой величины.

Метод линий влияния более прост для реализации, позволяет достаточно просто определять расчетное положение нагрузки и ее величину. Поэтому далее остановимся только на нем.

Линия влияния (ЛВ) – это график изменения одного усилия (опорной реакции, реакции в связи, изгибающего момента, перерезывающего и продольного усилий) в определенном месте (сечении) конструкции от единичной безразмерной силы P =1, которая движется по конструкции без ускорения, сохраняя при этом постоянное направление.

Понятия ЛВ и эпюры нельзя путать, потому что эпюра показывает значение внутреннего усилия для всех точек (сечений) от постоянной нагрузки, а ЛВ показывает значение внутреннего усилия от подвижной единичной силы P =1 только для одного сечения.

Линии влияния, главным обp азом , применяют в балочных cиc­темах (а также в ар­ках, фермах и дру­гих стержневых си­стемах), в котоpых cоcpедоточенная cила может пеpеме­щатьcя вдоль пpо­лета , cохpаняя cвое напpавление . Пp и помощи линий вли­яния легко pаccчи­тать балкy на под­вижнyю нагpyзкy , возникающую, напpимеp , при движении поезда или потока автомашин на моcтовом пpолете .

5.3. Построение линий влияния усилий простой балки

Пример 5.1. Рассмотрим консольную балку, на которую действует подвижная нагрузка P =1 (рис. 5.2, а ).

Рис. 5.2

1) Линии влияния опорных реакций

Сумма моментов в правой опоре:

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Для построения графика этой функции найдем положение двух точек:

еслиx =0 , то R A =1;

еслиx=l , то R A =0.

Через эти точки проводим прямую и строим ЛВ реакции R A (рис. 5.2, б ).

Для определения правой опорной реакции составим уравнение

Σ M A =R B ∙ l – 1 ∙ x = 0.

Отсюда

Если x =0, то R B =0;

если x=l , то R B =1.

Через эти точки проводим прямую и строим л.в . реакции R B (рис. 5.2, в ).

2) Линии влияния поперечной силы и момента

Они зависят от положения сечения, в котором определяются.

а) Единичная сила правее сечения К

В этом случаеQ K = R A , M K = R A ∙ a .

Эти функции определяют правые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

б) Единичная сила левее сечения К

В этом случае внутренние усилия определяем через правую опорную реакцию. ТогдаQ K =– R B , M K =R B ∙ b . Эти функции определяютлевые ветви ЛВ поперечной силы и момента в сечении К (рис. 5.2, г, д ).

Если сечение располагается на консольных (левой или правой) частях балки (рис. 5.3, а ), ЛВ поперечной силы и момента будут совсем другими. Приведем результат их построения для двух сечений К 1 и К 2 (рис. 5.3, б-д ).

Рис. 5.3

В некоторых расчетных схемах (например, в этажных схемах разрезной балки) встречаются консоли с заделками справа или слева. ЛВ их усилий можно получить и без расчетов, используя соответствующие левые и правые части предыдущих линий влияния (рис. 5.3, б-д ), считая, что в точках А и В имеются заделки.

Полученные ЛВ опорных реакций и внутренних усилий используются как известные решения при расчете аналогичных балок и как промежуточные решения при расчете многопролетных балок.

Пример 5.2. Рассмотрим простую балку на двух опорах (рис. 5.4,а ).

Решение.

Загружаем ее единичной силой Р = 1. Поскольку сила двигается по балке (скажем вертикального направления), то ее местоположение зафиксируем координатой х от опоры А .

Рис.5.4

Решение.

Построим л. в . для опорной реакции R A .

Вычислим величину R A , рассмотрев уравнение статики Σ M B =0.

Σ M B =−R A ∙ l + 1 ∙ (l – x) = 0.

Отсюда

Из выражения R A видим, что величина опорной реакции меняется по линейному закону. Поэтому можно задать два сечения х и по этим величинам R A построить график изменения реакции R A .

При x =0,R A =1.

При x = l (т. е. сила Р = 1 будет находиться на опоре В)R A =0.

Откладывая эти значения R A на одном графике и соединяя их прямой (рис. 5.4,б ), получим л. в. R A в пределах длины балки. Когда сила Р = 1 будет находиться в точке С , величина R A может быть вычислена из подобия треугольников или аналитически из полученной ранее формулы:

Читателю предлагается самостоятельно построить л. в. R b и сравнить сграфиком, показанном на рис.5.4,в .

Разберем построение л. в . для М к . Сечение «К» на расстоянии 4,0 м от опоры А (рис. 5.5,а ).

Поскольку Р = 1 двигается по балке, то она может оказаться как слева от сечения «К», таки справа от него. Необходимо рассмотреть оба положения нагрузки относительно сечения «К».

а) Р = 1 слева от сечения «К» (как показано на рис. 5.5,а ).

Рис.5.5

Изгибающий момент в сечении «К» можно подсчитать как от левых, так и от правых сил. Отправых сил момент подсчитать удобнее – меньше слагаемых (меньше сил):

Из этого выражения следует, что

Следовательно, нужно построить л.в . R b и все ее ординаты увеличить в 2 раза (рис.5.5,б ), но этот график будет справедлив только слева от сечения «К», т. е. там, где находится груз Р = 1. Эта прямая л.в . М К носит название – левая прямая. Рассмотрим второе положение Р = 1.

б) Р = 1 справа от сечения «К».

или

т. е. следует построить л. в. R A , ординаты которой следует увеличить в 4 раза, и этот график будет справедлив только справа от сечения “К” – правая прямая л.в . М К (рис. 5.5,в ).

Для получения полного графика л. в. М К совмещаем на одной оси обе прямые (левую и правую) л. в. М К (рис. 5.5,г ).

По такому же принципу строятся и л. в. для Q K (рис. 5.5,д ) и других усилий.

Пример 5.3. Рассмотрим консольную балку (рис. 5.6). Построим графики изменения (л.в .) опорных реакций и внутренних усилий в сечении «К».

Рис.5.6

Решение.

Линии влияния R A . .

Реакция данной опоры определится из уравнения статики

Σ y =0;R A - 1=0илиR A =1.

Обратим внимание - в уравнение не вошла координата х . Следовательно, реакция опоры А постоянная, где бы ни находилась сила Р = 1 (рис. 5.6,б ).

Линия влияния H A . .

Уравнение Σ x =0 дает, что H A =0.

Линия влияния М A

Из уравнения Σ M A =0 получаем, что M A + 1 ∙ x =0, откуда M A = - x .

Знак минус говорит о том, что направление реактивного момента мы выбрали неверно, а само значение М А зависит от координатых.

При x =0 M A =0.

При x = l M A = l (где l – вылет консоли).

Линия влияния М А приведена на рис. 5.6,в .

Линия влияния Q K (перерезывающая сила в сечении К).

Рассмотрим положение груза Р = 1 слева от сечения (рис.5.6,г ).

Перерезывающую силу Q K удобнее вычислить от правых сил, тогда

Q K =0.

Левая прямая справедлива отзаделки до сечения К (рис. 5.6,е ).

Когда груз Р = 1 окажется справа от сечения К (рис.5.6,д ), перерезывающую силу опять вычислим от правых сил:

Q K =1.

Вновь заметим – величина Q K не зависит от положения нагрузки на этом участке, т. е. Q K – постоянная (рис.5.6,е ) и правая прямая справедлива от сечения К до конца консоли. В сечении К на графике л.в . наблюдается скачок на величину Р = 1.

Линия влияния М К (изгибающий момент в сечении К).

Здесь мы вновь рассмотрим два положения груза Р = 1.

а ) Груз Р = 1 слева от сечения (рис. 5.6,г ).

Изгибающий момент в сечении «К» проще подсчитать от правых сил (их нет), тогда M K =0 . Следовательно, на графике (рис. 5.6,ж ) слева от сечения изображаем нулевую линию (левую прямую).

б) Груз Р = 1 справа от сечения (рис.5.6,д ).

Зафиксируем его от сечения «К» координатой х . Тогда изгибающий момент в сечении «К» вычисляется:

M K = 1∙ x.

Отсюда имеем:

при x =0 M K =0.

при x = b M K = b .

По этим данным строим правую прямую (рис. 5.6,ж ).

5.4. Построение линий влияния усилий в ломаных стержнях (рамах)

Пример 5.4. Рассмотрим простейшую раму (рис.5.7). Будем считать, что Р = 1 двигается по горизонтальному стержню 2-3 и направлена вертикально.

Рис.5.7

Решение.

Поскольку Р = 1 двигается по линии 2-3, то все графики строим по проекции этой линии (рис. 5.7).

Линия влияния Н 1

Запишем выражение для определения Н 1 :

Σ M 3 =0;

откуданаходим

при x =0 H 1 = 1,5;

при x =6 H 1 = 0.

График изменения Н 1 показан на рис.5.7,б .

Линия влияния Н 3

Σ x =0; H 3 + H 1 =0, откуда H 3 =- H 1 .

Знак минус указывает, что направление выбрано нами неудачно. Сменим его на противоположное. Другими словами, величина H 3 = H 1 .

Линия влияния R 3

Σ y =0;R 3 - 1=0; R 3 =1.

Это означает, что величина реакции R 3 не зависит от положения нагрузки (рис. 5.7,в ).

Линия влияния M 21 (момент в сечении 2 участка 2-1)

Величину изгибающего момента запишем как сумму моментов нижних сил, т. е.

или величина момента меняется так же, как л.в . Н 1 , ординаты которой умножаются на 4 (м) (рис. 5.7,г ).

Линия влияния Q 21 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-1)

Уравнение говорит само за себя (рис. 5.7,д ).

Линия влияния Q 23 (перерезывающая сила в сечении 2 участка 2-3)

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-1) (рис. 5.7,ж ).

N 21 =0(из проекции на ось стержня 2-1).

Линия влияния N 21 (продольная сила в узле 2 участка 2-3) (рис. 5.7,з ).

(из проекции на ось стержня 2-3).

5.5. Построение линий влияния усилий в двухдисковой конструкции

Пример 5.5. Рассмотрим построение на примере двухдисковой рамы (рис. 5.8).

Рис.5.8

Решение.

Линии влияния опорных реакций

Линия влияния R 1 .

Вычисляем опорную реакцию R 1 :

Σ M 6 =0;

При Р = 1 слева от шарнира 3:

При Р = 1справа от шарнира 3:

Решение системы 2-х уравнений с 2-мя неизвестными при Р = 1 слева от шарнира 3:

дает Придавая координате «х » крайние значения на этом участке, получим величину R 1 :

при x =0 R 1 =1 ,

при x = 4

При Р =1 справа от шарнира 3 получим систему двух уравнений:

решение которой дает:

при x =4 R 1 = 0,567;

при x =7 R 1 = 0;

при x =9 R 1 = -0,377.

График изменения R 1 смотрите на рис.5.8,б .

Линия влияния Н 1

Из полученных ранее уравнений при известном значении R 1 находим величину Н 1 :

ПриР = 1 слева от шарнира 3

при x =0 H 1 = 0;

при x =4

При грузе Р = 1 справа от шарнира 3

при x =4 H 1 = 0,324;

при x =7 H 1 = -0,756+0,756=0;

при x =9 H 1 = -0,972+0,756=-0,216.

По полученным значениям линия влиянии Н 1 построена на рис.5.8,в .

Линия влияния Н 6 .

Из общего уравнения равновесия конструкции:

Σ x =0;

Откуда следует, что , и следовательно, (рис. 5.8,в ).

Линия влияния R 6 .

Воспользуемся уравнением равновесия всей конструкции:

Σ y =0;

Отсюда

Линия влияния R 6 показана на рис.58,г .

Линии влияния внутренних усилий

Наметим сечения в узле 4 на стержне 4 - 6; в узле 4 на участке 4 - 3; в узле 4 на участке 4 – 5 (рис. 5.9,а ).

Сечение 4 на участке 4 – 6.

Линия влияния Q 4-6 .

Величина усилия Q 4-6 вычисляется из условия равновесия нижней части (стержень 4-6):

Обратим внимание, что величина перерезывающей силы (Q 4-6 ) от положения силы Р = 1 не зависит, следовательно, (рис. 5.8,д ).

Линия влияния N 4-6 .

Усилие N 4-6 вычисляется как сумма всех сил на ось стержня, располагающегося ниже сечения 4 участка 4 - 6.

и, поскольку величина N 4-6 не зависит от координаты х , можем утверждать: (рис. 5.8,е ).

Линия влияния М 4-6 .

Изгибающий момент в сечении 4 участка 4 – 6 вычисляется:

и опять - таки не зависит от места расположения Р = 1. Таким образом, меняется так же, как и , но все ординаты л.в . Н 6 увеличиваются на 4 (м), т.е.: (рис.5.8,ж ).

Рис.5.9

Сечение 4 на участке 4 – 3 – 2.

Линия влияния Q 4-3 (рис. 5.9,б ).

Величина перерезывающей силы в сечении 4 участка 4 – 3 – 2 (Q 4-3 ) будет зависеть от положения силы Р = 1.

Сила Р = 1 слева от сечения 4.

Получили так называемую левую прямую.

Сила Р = 1 справа от сечения 4 – 3.

Линия влияния N 4-3 (рис. 5.9,в ).

Независимо от положения нагрузки Р = 1, величина N 4-3 будет равна либо Н 1 , либо Н 6 , т. е.

Линия влияния М 4-3 (рис. 5.9,г ).

Сила Р = 1 слева от сечения: (левая прямая).

Сила Р = 1 справа от сечения.

Здесь возможны два варианта вычисления:

а) , т. е.

б) Силу Р = 1, находящуюся справа от сечения 4 стержня 4 – 3, зафиксируем ординатой х от узла 4 (рис. 4.9,а ). Тогда

Линия влияния уже построена. Остается при х = 2добавить к значению –0,864 величину 2 , т. е.:

при x =2

при x =0

Для усилий сечения 4 участка 4 – 5 линии влияния строятся как для консоли (рис. 5.9,д,е ,ж ). Предлагаем построить их самостоятельно.

H еcколько cложнее поcтpоение линий влияния ycилий в эле­ментах cтатичеcки опpеделимых феpм , аpок , а также cтатичеcки неопpеделимых cиcтем .

Заметим также, что линии влияния yc илий в cтатичеcки опpе­делимых cиcтемах пpи движении гpyза по пpямой изобpажаютcя отpезками пpямых линий, в то вpемя как линии влияния ycилий в cтатичеcки неопpеделимых cиcтемах , как пpавило , кpиволинейные .

5.6. Вычисление усилий по линиям влияния от неподвижной нагрузки

Обратимся к л.в . усилия R A простой балки (рис. 5.10). Отметим, что при нахождении силы Р = 1 на опоре А величина реакции равна 1, а при нахождении силы Р = 1 на расстоянии х от опоры А величина R A будет равна величине R A (х) , взятой из графика (рис. 5.10). Если силу Р = 1 увеличить в « n » раз, то и график (его значения) увеличится в « n » раз.

Рис.5.10Рис.5.11

Тогда при загружении одной сосредоточенной силой, скажем, Р = 5 кН (рис.5.11), величина R A будет равна произведению силы 5 (кН) на ординату Л.В. R A , взятую под силой, т. е.

или, вычисляя аналитически, получим то же значение R A .

Если же балка или другая конструкция нагружена сосредоточенными силами (рис.5.12) и, пользуясь принципом независимости действия сил, вычислим значения усилия от каждой силы и результаты сложим, т. е.

где: Р i – значение сосредоточенной i -ой силы;

y i – ордината Л.В. усилия S , взятая под силой Р i , т. е.:

От p аcпpеделенной нагpyзки q (x ) усилие через линии влияния определяется:

где a и b - кооp динаты начальной и конечной точек дейcтвия pаc­пpеделенной нагpyзки .

Для p авномеpно pаcпpеделенной нагpyзки (рис. 5.13) q = const :

где - площадь, огp аниченная линией влияния, оcью абcциcc и пpямыми x = a и x = b .

Рис. 5.12Рис. 5.13

Так для схемы на рис.5.14 с равномерно распределенной нагрузкой усилие S будет подсчитываться как произведение интенсивности нагрузки на площадь (-Ω ) л.в . усилия (на рис. 5.14 л.в . усилия М к ), т. е. S = Ω ∙ q или для М к :

Рис.5.14

Необходимо установить правило знаков при расчете внутренних усилий по линиям влияния.

Если сосредоточенные силы и распределенная нагрузка направлены сверху вниз, то знак ординат линии влияния и площади определяет знак усилия.

Если положительная ветвь линии влияния отложена ниже оси стержня и сосредоточенный момент приходится на нее, то когда поворот оси балки по кратчайшему углу к л.в . совпадает с направлением сосредоточенного момента, имеем положительное внутреннее усилие.

C ледyет подчеpкнyть pазличие междy понятиями линии влия­ния и эпюpы , котоpая по опpеделению также являетcя гpафи­чеcким изобpажением закона изменения ycилия или пеpемещения .

Оp динаты y i и линии влияния, и эпюpы моментов являютcя здеcь фyнкциями от кооpдинаты x. Однако в c лyчае линий влияния эта кооpдината опpеделяет положение гpyза P = 1, а в cлyчае эпю­pы - положение cечения , в котоpом находитcя момент.

Пример 5.6. Обратимся к примеру (рис. 5.15).

Рис.5.15

Решение.

Вычислим величину реакции опоры С. Значение силы 15 кН умножим на значение линии влияния под силой (0,5) и получим:

R с = 15 ∙ 0,5 =7,5 кН.

Для сравнения нетрудно подсчитать реакцию из уравнения:изгибающий момент в шарнире В правых сил равен нулю:

M B = R с ∙ 3 - 15 ∙1 ,5 =0, откуда находим R с = 7,5 кН.

Аналогично находим:

M B = 8 ∙ 3 +15 ∙ 2 +2 ∙ (4 ∙ 4/2) = 70 кНм .

Пример 5.7. Конструкция (рис.5.16,в ) нагружена системой сил (вариант а и вариант б). Вычислим значения усилий по линиям влияния Н 3 (рис. 5.16,г ), М к (рис. 5.16,д ), М F (рис. 5.16,е ).

Рис.5.16

Решение.

Загружение по варианту «а».

Загружение по варианту «б»

5.7. Построение линий влияния при узловой передаче нагрузки

Чаc то нагpyзка пеpедаетcя на конcтpyкцию не непоcpедcтвенно , а чеpез cиcтемy cтатичеcки опpеделимых балок (pиc . 5.17, а ). Тогда, еc ли единичный гpyз находитcя в начале пpолета балки, т.е. в точке а , то он целиком пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию и вызывает ycилие , для котоpого поcтpоена линия влияния, чиcленно pавное y а - оpдинате линии влияния, cоответcтвyющей I оcновной конcтpyкции (pиc . 5.17, б ).

Рис. 5. 17

Еc ли гpyз находитcя в конце пpолета балки (точка b ), то он также пеpедаетcя на оcновнyю конcтpyкцию , вызывая ycилие , чиc­ленно pавное y b - оpдинате линии влияния в точке b основной конструкции.

H аконец , еcли гpyз находитcя в пpолете балки на pаccтоянии t от точки a (pиc . 5.17, в ), то левая pеакция балки бyдет pавна , а пpавая , (l 1 - пpолет балки). Значение yc илия в оc­новной конcтpyкции :

т.е. линия влияния на y чаcтке движения гpyза по балке бyдет пpя­молинейная . Еc ли оcновная линия влияния на этом yчаcтке лома­ная или кpиволинейная , то пpи пеpедаче нагpyзки чеpез cтатичеcки опpеделимyю балкy пpи пеpеходе от оpдинаты y a к оpдинате y b эта линия влияния cпpямляетcя .

Опиc анный cпоcоб пеpедачи нагpyзки на оcновнyю конcтpyк­цию называетcя yзловой пеpедачей нагрузки. Он оc обенно чаcто вcтpечаетcя в феpмах , где опоpы балок наcтила pаcпо­лагаютcя над yзлами феpмы , и бал­ками cлyжат cами панели веpхнего или нижнего пояcа (рис. 5.18).

Рис. 5. 18

Пp авило поcтpоения линии влия­ния ycилия S пpи yзловой пеpедаче нагpyзки заключается в следующем:

1. Поc тpоить пpедваpительно ли­нию влияния иcкомого ycилия пpи движении гpyза по оcновной чаcти конcтpyкции ;

2. Зафиксировать ординаты построенной линии влияния под узлами передачи нагрузки;

3. Соединить пp ямой линией оpдинаты линий влияния под yз­лами пеpедачи нагpyзки .

Эта линия называется переда­точной прямой линии влияния. Пример применения этого пра­вила для построения линии влия­ния изгибающего момента для сечения K балки приведен на рис. 5.19.

Рис. 5. 19

5.8. Невыгодное или опасное положение нагрузки

В процессе проектирования стержневых конструкций часто возникает вопрос о таком загружении внешней нагрузкой, когда внутренние усилия в рассматриваемом сечении (или опорная реакция) принимают максимальные (минимальные) значения. Эта проблема исследуется преимущественно с помощью линий влияния.

Положим, что л.в . состоит из отдельных линейных участков, рассмотрим различные случаи нагружения .

P .

В этом случае рассуждения о невыгодном нагружении простейшие:

­– максимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной положительной (y max ) ординатой линии влияния:

S max = P ∙ y max ;

– минимальное усилие будет при расположении сосредоточенной силы над максимальной отрицательной (y min ) ординатой линии влияния:

S min = P ∙ y min .

2. Случай действия системы жестко связанных сосредоточенных сил.

Такая нагрузка моделирует нагрузку от автомобиля, поезда и т.п.

В общем случае линия влияния усилия может представлять ломанную линию.

Рассмотрим случай, когда действуют две связанные сосредоточенные силы (рис. 5.20). Пусть P 2 > P 1 .

Рис. 5.20

Для определения опасного положения гру­зов их устанавливают над однозначными уча­стками линии влияния так, чтобы наибольший груз находился над наи­большей ординатой. Из рис. 5.20 все становится понятным.

При большем числе грузов искомое опасное положение устанавливается перебором нескольких вариантов их положения, при котором один из грузов обязательно должен находится над одной из вершин линии влияния (рис. 5.21).

Рис. 5.21

Сократить количество рассматриваемых положений помогут следующие рассуждения. Установим подвижную систему связанных сил в предположении возникновения опасного загружения (рис. 5.21). Сместим систему грузов вправо на ∆ x . Приращение усилия будет равно

∆ S = Σ P i ∙ ∆ h i = ΣP i ∙ ∆ x ∙ tg α i =∆ x ∙ ΣP i ∙ tg α i ,

где ∆ h i – величина изменения координаты под P i ;

α i – угол наклона ЛВ под силой P i .

Предположим, что приращение ∆ S >0. Мысленно местим систему гру­зов влево от первона­чального положе­ния на ∆ x . Если прираще­ние уси­лия ∆ N будет отри­ца­тельно, то первона­чальное положение грузов отвечает опасному загру­жению .

Действительно, если опасное загружение единственно для данного сечения, то искомая функция изменения внутреннего усилия в зависимости от положения системы грузов должна обладать единственным экстремумом. Условие изменения знака приращения усилия при переходе через экстремум и позволяет сократить количество переборов.

3. Случай действия на сооружение подвижной равномерно распределенной нагрузки q .

Усилие N от равномерно распределенной нагрузки, как было показано ранее, вычисляется по формуле

Максимальное значение усилия S будет определяться площадью , так как величина q постоянна. Следовательно, подвижную постоянную распределенную нагрузку надо расположить над тем участком линии влияния усилий, где площадь под ней будет максимальна (минимальна).

5.9. Матричная форма расчета усилий

Пp и пpоведении pаcчетов с иcпользованием вычиcлительной техники шиpоко пpименяютcя матpицы влияния , т.е. матрицы, элементами которой являются ординаты линий влияния. Задача p аcчета конcтpyкции фоpмyлиpyетcя cледyющим обpазом .

Пусть требуется произвести расчет какой - либо статически оп­ределимой системы на действие заданной нагрузки (рис. 5.22, а ).

Заданную систему заменим ее дискретной схемой, для чего на­метим сечения i = 1, 2, 3,..., n , в которых требу­ется вычислить усилия S i (i = 1, 2, 3,..., n ).

Заменяя распреде­ленную нагрузку сосре­доточенными силами, а момент, в виде пары сил, система внешних сил представляется в виде системы сосредоточенных сил (рис. 5.22, б ) P T = (P 1 , P 2 , P 3 ,..., P n ), где Р i - значение внешней си­лы, приложенной в i - ом сечении.

Рис. 5.22

Далее c тpоятcя линии влияния искомого усилия для cечений i = 1, 2, 3,..., n заданной балки. C оглаcно пpинципа незавиcимоcти дейcтвия cил для каждого i - ого cечения можно cоcтавить выpа­жение иcкомого ycилия в cледyющем виде:

где y ik - значение иc комого ycилия в i - ом cечении от единичной cилы P k = 1, пpиложенной в k - ой точке (pиc . 5.22, б ).

Вводят вектоp ы S т = (S 1 , S 2 , S 3 ,..., S n ); P т = (P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n ) и матpицy L s , элементами котоpой являютcя ординаты линий влия­ния:

Эта матp ица называетcя матpицей влияния ycилия S . Пp и помощи введенных обозначений cоотношения (1) можно запи­cать в виде:

На практике строится матрица влияния изгибающих моментов L M . Далее, используя эту матрицу, можно воспользоваться форму­лой , и осуществить переход от матрицы влияния изгиба­ющих моментов к матрице влияния перерезывающих сил. Для определения поперечной силы, действующей на произвольном i - ом участке балки, ограниченной сечениями i и i - 1, пользуясь диск­ретным аналогом последней формулы в виде

она численно равна тангенсу угла наклона эпюры моментов.

Преобразованная матрица моментов может быть получена путем перемножения двух матриц:

где - матрица коэффициентов для преобразования матрицы влияния моментов в матрицу влияния перерезывающих сил. Она имеет двухдиагональную структуру: на диагонали стоят едини­цы, а под диагональю Теория машин и механизмов