Tiažová práca závisí len od zmeny výšky a rovná sa súčinu tiažového modulu a vertikálneho posunutia bodu (obr. 15.6):
Kde Δh- zmena výšky. Pri spúšťaní je práca pozitívna, pri stúpaní negatívna.
Práca vykonaná výslednou silou
Pod vplyvom sústavy síl bod s hmotnosťou T sa pohybuje z pozície M 1 do polohy M 2(obr. 15.7).
V prípade pohybu pri pôsobení sústavy síl sa používa teorém o výslednej práci.
Práca výslednice pri určitom posunutí sa rovná algebraickému súčtu práce sústavy síl pri rovnakom posunutí.
Príklady riešenia problémov
Príklad 1 Teleso s hmotnosťou 200 kg sa zdvihne po naklonenej rovine (obr. 15.8).
Určte vykonanú prácu pri pohybe 10 m konštantnou rýchlosťou. Koeficient trenia medzi telesom a rovinou f = 0,15.
Riešenie
- Pri rovnomernom vzostupe sa hnacia sila rovná súčtu síl odporu voči pohybu. Sily pôsobiace na teleso nakreslíme na diagram:
- Použijeme vetu o výslednej práci:
- Nahradíme vstupné množstvá a určíme zdvíhaciu prácu:
Príklad 2 Určte prácu vykonanú gravitáciou pri presúvaní bremena z bodu A presne tak S po naklonenej rovine (obr. 15.9). Tiažová sila telesa je 1500 N. AB = 6 m, BC = 4 m.
Riešenie
1. Práca gravitácie závisí len od zmien výšky bremena. Zmena výšky pri pohybe z bodu A do C:
2. Práca gravitácie:
Príklad 3 Určte prácu vykonanú reznou silou za 3 minúty. Rýchlosť otáčania súčiastky je 120 ot./min., priemer obrobku 40 mm, rezná sila 1 kN (obr. 15.10).
Riešenie
1. Rotačná práca
kde F res je rezná sila.
2. Uhlová rýchlosť 120 ot./min.
3. Počet otáčok za daný čas je z = 120 3 = 360 ot./min.
Uhol natočenia počas tejto doby
4. Pracujte za 3 minúty Wp= 1 0,02 2261 = 45,2 kJ.
Príklad 4. Telesná hmotnosť m= 50 kg sa pohybuje po podlahe pomocou horizontálnej sily Q do diaľky S= 6 m Určte prácu vykonanú trecou silou, ak je koeficient trenia medzi povrchom tela a podlahou f= 0,3 (obr. 1,63).
Riešenie
Podľa Ammontonovho-Coulombovho zákona trecia sila
Trecia sila je nasmerovaná v smere opačnom k pohybu, takže práca vykonaná touto silou je záporná:
Príklad 5. Určte napnutie vetiev remeňového pohonu (obr. 1.65), ak je výkon prenášaný hriadeľom N = 20 kW, otáčky hriadeľa n = 150 ot./min
Riešenie
Krútiaci moment prenášaný hriadeľom je
Vyjadrime krútiaci moment prostredníctvom síl vo vetvách remeňového pohonu:
kde
Príklad 6. Polomer kolesa R= 0,3 m rolky bez posúvania po vodorovnej koľajnici (obr. 1.66). Nájdite prácu valivého trenia, keď sa stred kolesa posunie na určitú vzdialenosť S= 30 m ak vertikálne zaťaženie na osi kolesa je P = 100 kN. Koeficient valivého trenia kolesa na koľajnici je rovný k= 0,005 cm.
Riešenie
Valivé trenie vzniká v dôsledku deformácií kolesa a koľajnice v oblasti ich kontaktu. Normálna reakcia N sa pohybuje dopredu v smere pohybu a vytvára vertikálnu tlakovú silu R na osi kolesa pár, ktorého rameno sa rovná koeficientu valivého trenia k, a moment
Táto dvojica má tendenciu otáčať koleso v smere opačnom k jeho otáčaniu. Preto bude práca valivého trenia záporná a bude určená ako súčin konštantného trecieho momentu a uhla natočenia kolesa. φ , t.j.
Dráhu, ktorú koleso prejde, možno definovať ako súčin jeho uhla natočenia a polomeru
Zadanie hodnoty φ do pracovného výrazu a dosadením číselných hodnôt dostaneme
Kontrolné otázky a úlohy
1. Aké sily sa nazývajú hnacie sily?
2. Aké sily sa nazývajú sily odporu?
3. Napíšte vzorce na určenie práce pri translačných a rotačných pohyboch.
4. Čo je to obvodová sila? Čo je krútiaci moment?
5. Povedzte vetu o výslednej práci.
V tejto lekcii sa pozrieme na rôzne pohyby tela pod vplyvom gravitácie a naučíme sa, ako nájsť prácu vykonanú touto silou. Zavedieme si aj pojem potenciálna energia telesa, zistíme, ako táto energia súvisí s prácou gravitácie a odvodíme vzorec, podľa ktorého sa táto energia nachádza. Pomocou tohto vzorca vyriešime úlohu prevzatú zo zbierky na prípravu na jednotnú štátnu skúšku.
V predchádzajúcich lekciách sme študovali typy síl v prírode. Pre každú silu je potrebné správne vypočítať prácu. Táto lekcia je venovaná štúdiu práce gravitácie.
o krátke vzdialenosti od povrchu Zeme je gravitačná sila konštantná a svojou veľkosťou sa rovná , kde m- telesná hmotnosť, g- gravitačné zrýchlenie.
Nech má telo hmotu m voľne padá z výšky nad akoukoľvek úrovňou, z ktorej sa odpočítavanie vykonáva do výšky nad rovnakou úrovňou (pozri obr. 1).
Ryža. 1. Voľný pád tela z výšky do výšky
V tomto prípade sa modul pohybu tela rovná rozdielu týchto výšok:
Keďže smer pohybu a sila gravitácie sa zhodujú, práca vykonaná gravitáciou sa rovná:
Hodnotu výšky v tomto vzorci je možné vypočítať z akejkoľvek úrovne (hladina mora, úroveň dna vykopanej jamy v zemi, povrch stola, povrch podlahy atď.). V každom prípade je výška tejto plochy zvolená rovná nule, preto sa volá úroveň tejto výšky nulová úroveň.
Ak telo spadne z výšky h na nulovú úroveň, potom sa práca vykonaná gravitáciou bude rovnať:
Ak teleso vrhnuté nahor z nulovej úrovne dosiahne výšku nad touto úrovňou, potom práca vykonaná gravitáciou sa bude rovnať:
Nech má telo hmotu m sa pohybuje po naklonenej rovine výšky h a súčasne vykoná pohyb, ktorého modul sa rovná dĺžke naklonenej roviny (pozri obr. 2).
Ryža. 2. Pohyb tela po naklonenej rovine
Práca sily sa rovná skalárnemu súčinu vektora sily a vektoru posunutia tela vykonávaného pod vplyvom danej sily, to znamená, že práca gravitácie sa v tomto prípade bude rovnať:
kde je uhol medzi vektormi gravitácie a posunutia.
Obrázok 2 ukazuje, že posunutie () predstavuje preponu pravouhlého trojuholníka a nadmorskú výšku h- noha. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka:
Preto
Získali sme výraz pre prácu gravitácie, ktorý je rovnaký ako v prípade vertikálneho pohybu telesa. Môžeme dospieť k záveru: ak trajektória telesa nie je priamočiara a teleso sa pohybuje pod vplyvom gravitácie, potom je práca gravitácie určená iba zmenou výšky telesa nad určitou nulovou úrovňou a nezávisí od trajektóriu tela.
Ryža. 3. Pohyb tela po zakrivenej dráhe
Dokážme predchádzajúce tvrdenie. Nechajte teleso pohybovať sa po nejakej krivočiarej trajektórii (pozri obr. 3). Mentálne rozdeľujeme túto trajektóriu na množstvo malých úsekov, z ktorých každý možno považovať za malú naklonenú rovinu. Pohyb telesa po celej jeho trajektórii možno znázorniť ako pohyb po mnohých naklonených rovinách. Práca vykonaná gravitáciou na každej sekcii sa bude rovnať súčinu gravitácie a výške tejto sekcie. Ak sú zmeny výšok v jednotlivých oblastiach rovnaké, potom je práca gravitácie na nich rovnaká:
Celková práca na celej trajektórii sa rovná súčtu práce na jednotlivých úsekoch:
- celková výška, ktorú telo prekonalo,
Práca gravitácie teda nezávisí od dráhy telesa a vždy sa rovná súčinu gravitácie a rozdielu výšok v počiatočnej a konečnej polohe. Q.E.D.
Pri pohybe nadol je práca pozitívna, pri pohybe nahor negatívna.
Nechajte nejaké teleso pohybovať sa po uzavretej trajektórii, to znamená, že najprv išlo dole a potom po inej trajektórii sa vrátilo do východiskového bodu. Keďže teleso skončilo v rovnakom bode, v ktorom bolo na začiatku, rozdiel vo výškach medzi počiatočnou a konečnou polohou telesa je nulový, preto práca vykonaná gravitáciou bude nulová. teda práca vykonaná gravitáciou pri pohybe telesa po uzavretej trajektórii je nulová.
Vo vzorci pre prácu gravitácie vyberieme (-1) zo zátvoriek:
Z predchádzajúcich lekcií vieme, že práca síl pôsobiacich na teleso sa rovná rozdielu medzi konečnou a počiatočnou hodnotou kinetickej energie telesa. Výsledný vzorec tiež ukazuje spojenie medzi prácou gravitácie a rozdielom medzi hodnotami určitého fyzikálne množstvo, rovná . Toto množstvo sa nazýva potenciálnu energiu tela, ktorá je vo výške h nad nejakou nulovou úrovňou.
Zmena potenciálnej energie je záporná, ak sa vykoná pozitívna gravitačná práca (možno vidieť zo vzorca). Ak sa vykoná negatívna práca, zmena potenciálnej energie bude pozitívna.
Ak telo spadne z výšky h na nulovú úroveň, potom sa práca vykonaná gravitáciou bude rovnať hodnote potenciálnej energie telesa zdvihnutého do výšky h.
Potenciálna energia tela, zdvihnutý do určitej výšky nad nulovú úroveň, sa rovná práci vykonanej gravitáciou, keď dané teleso spadne z danej výšky do nulovej úrovne.
Na rozdiel od kinetickej energie, ktorá závisí od rýchlosti telesa, sa potenciálna energia nemusí rovnať nule ani pre telesá v pokoji.
Ryža. 4. Telo pod nulovou úrovňou
Ak je teleso pod nulovou úrovňou, potom má negatívnu potenciálnu energiu (pozri obr. 4). To znamená, že znamienko a veľkosť potenciálnej energie závisí od výberu nulovej úrovne. Práca vykonaná pri pohybe telesa nezávisí od voľby nulovej úrovne.
Pojem „potenciálna energia“ sa vzťahuje len na sústavu telies. Vo všetkých vyššie uvedených úvahách bol tento systém „Zem je telo vyvýšené nad Zemou“.
Homogénny pravouhlý rovnobežnosten s hmotou m s rebrami sú umiestnené na vodorovnej rovine postupne na každej z troch plôch. Aká je potenciálna energia kvádra v každej z týchto polôh?
Vzhľadom na to:m- hmotnosť rovnobežnostena; - dĺžka okrajov rovnobežnostena.
Nájsť:; ;
Riešenie
Ak potrebujete určiť potenciálnu energiu telesa konečných rozmerov, potom môžeme predpokladať, že celá hmotnosť takéhoto telesa je sústredená v jednom bode, ktorý sa nazýva ťažisko tohto telesa.
V prípade symetrických geometrických telies sa ťažisko zhoduje s geometrickým stredom, teda (pre tento problém) s priesečníkom uhlopriečok rovnobežnostena. Preto je potrebné vypočítať výšku, v ktorej sa daný bod nachádza pre rôzne miesta rovnobežnostena (pozri obr. 5).
Ryža. 5. Ilustrácia problému
Na nájdenie potenciálnej energie je potrebné vynásobiť získané hodnoty výšky hmotnosťou rovnobežnostena a gravitačným zrýchlením.
odpoveď:; ;
V tejto lekcii sme sa naučili, ako vypočítať prácu gravitácie. Zároveň sme videli, že bez ohľadu na trajektóriu pohybu tela je práca gravitácie určená rozdielom medzi výškami počiatočnej a konečnej polohy tela nad určitou nulovou úrovňou. Zaviedli sme tiež koncept potenciálnej energie a ukázali sme, že práca gravitácie sa rovná zmene potenciálnej energie telesa s opačným znamienkom. Koľko práce treba vynaložiť na prenesenie vreca múky s hmotnosťou 2 kg z police umiestnenej vo výške 0,5 m od podlahy na stôl umiestnený vo výške 0,75 m od podlahy? Aká je potenciálna energia vreca múky ležiaceho na poličke vzhľadom na podlahu a jeho potenciálna energia, keď je na stole?
Práca gravitácie. Riešenie problémov
Účel lekcie: určiť vzorec pre prácu gravitácie; určiť, že práca vykonaná gravitáciou nezávisí od trajektórie telesa; rozvíjať praktické zručnosti pri riešení problémov.
Počas vyučovania.
1. Organizačný moment. Pozdravenie študentov, kontrola absencií, stanovenie cieľov hodiny.
2.Kontrola domácich úloh.
3. Učenie sa nového materiálu. V predchádzajúcej lekcii sme definovali vzorec na určenie práce. Aký vzorec určuje prácu vykonanú konštantnou silou? (A=FScosα)
Čo je A aS?
Teraz aplikujme tento vzorec na gravitáciu. Najprv si však spomeňme, čo je to gravitačná sila? (F= mg)
Zvážte prípad a) telo padá kolmo nadol. Ako vy aj ja vieme, gravitácia je vždy nasmerovaná priamo nadol. Aby bolo možné určiť smerStreba si zapamätať definíciu. (Posun je vektor spájajúci počiatočný a koncový bod. Smeruje od začiatku do konca)
To. na určenie, Keďže smer pohybu a gravitácia sa zhodujú a = 0 a práca vykonaná gravitáciou je:
Zvážte prípad b) teleso sa pohybuje vertikálne nahor. Pretože smer gravitácie a pohybu sú teda opačné a = 0 a práca vykonaná gravitáciou je .
To. Ak teda porovnáte dva vzorce modulo, budú rovnaké.
Uvažujme prípad c) teleso sa pohybuje po naklonenej rovine. Práca sily sa rovná skalárnemu súčinu vektora sily a vektoru posunutia tela vykonávaného pod vplyvom danej sily, to znamená, že práca gravitácie sa v tomto prípade bude rovnať, Kde – uhol medzi vektormi gravitácie a posunutia. Obrázok ukazuje, že pohyb () predstavuje preponu pravouhlého trojuholníka a nadmorskú výškuh– noha. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka:
.Preto
To. čo sa dá uzavrieť?(že práca vykonaná gravitáciou nezávisí od trajektórie pohybu.)
Zoberme si posledný príklad, keď trajektória
pohyb bude uzavretá línia. Kto povie, čomu sa práca bude rovnať a prečo? (A=0, pretože posunutie je 0)
Všimnime si!: práca vykonaná gravitáciou pri pohybe telesa po uzavretej trajektórii je nulová.
4. Upevnenie materiálu.
Úloha 1. Poľovník strieľa z útesu pod uhlom 40° k horizontu. Počas pádu guľky bola práca vykonaná gravitáciou 5 J. Ak guľka vnikla do zeme vo vzdialenosti 250 m od skaly, aká je jej hmotnosť?
Úloha 2. Počas pobytu na Neptúne sa telo pohybovalo tak, ako je to znázornené na obrázku. Pri tomto pohybe bola práca vykonaná gravitáciou 840 J. Ak je hmotnosť tohto telesa 5 kg, aké je potom gravitačné zrýchlenie na Neptúne?
5. Domáce úlohy.
V tejto lekcii sa pozrieme na rôzne pohyby tela pod vplyvom gravitácie a naučíme sa, ako nájsť prácu vykonanú touto silou. Zavedieme si aj pojem potenciálna energia telesa, zistíme, ako táto energia súvisí s prácou gravitácie a odvodíme vzorec, podľa ktorého sa táto energia nachádza. Pomocou tohto vzorca vyriešime úlohu prevzatú zo zbierky na prípravu na jednotnú štátnu skúšku.
V predchádzajúcich lekciách sme študovali typy síl v prírode. Pre každú silu je potrebné správne vypočítať prácu. Táto lekcia je venovaná štúdiu práce gravitácie.
V malých vzdialenostiach od zemského povrchu je gravitácia konštantná a jej veľkosť sa rovná , kde m- telesná hmotnosť, g- gravitačné zrýchlenie.
Nech má telo hmotu m voľne padá z výšky nad akoukoľvek úrovňou, z ktorej sa odpočítavanie vykonáva do výšky nad rovnakou úrovňou (pozri obr. 1).
Ryža. 1. Voľný pád tela z výšky do výšky
V tomto prípade sa modul pohybu tela rovná rozdielu týchto výšok:
Keďže smer pohybu a sila gravitácie sa zhodujú, práca vykonaná gravitáciou sa rovná:
Hodnotu výšky v tomto vzorci je možné vypočítať z akejkoľvek úrovne (hladina mora, úroveň dna vykopanej jamy v zemi, povrch stola, povrch podlahy atď.). V každom prípade je výška tejto plochy zvolená rovná nule, preto sa volá úroveň tejto výšky nulová úroveň.
Ak telo spadne z výšky h na nulovú úroveň, potom sa práca vykonaná gravitáciou bude rovnať:
Ak teleso vrhnuté nahor z nulovej úrovne dosiahne výšku nad touto úrovňou, potom práca vykonaná gravitáciou sa bude rovnať:
Nech má telo hmotu m sa pohybuje po naklonenej rovine výšky h a súčasne vykoná pohyb, ktorého modul sa rovná dĺžke naklonenej roviny (pozri obr. 2).
Ryža. 2. Pohyb tela po naklonenej rovine
Práca sily sa rovná skalárnemu súčinu vektora sily a vektoru posunutia tela vykonávaného pod vplyvom danej sily, to znamená, že práca gravitácie sa v tomto prípade bude rovnať:
kde je uhol medzi vektormi gravitácie a posunutia.
Obrázok 2 ukazuje, že posunutie () predstavuje preponu pravouhlého trojuholníka a nadmorskú výšku h- noha. Podľa vlastnosti pravouhlého trojuholníka:
Preto
Získali sme výraz pre prácu gravitácie, ktorý je rovnaký ako v prípade vertikálneho pohybu telesa. Môžeme dospieť k záveru: ak trajektória telesa nie je priamočiara a teleso sa pohybuje pod vplyvom gravitácie, potom je práca gravitácie určená iba zmenou výšky telesa nad určitou nulovou úrovňou a nezávisí od trajektóriu tela.
Ryža. 3. Pohyb tela po zakrivenej dráhe
Dokážme predchádzajúce tvrdenie. Nechajte teleso pohybovať sa po nejakej krivočiarej trajektórii (pozri obr. 3). Mentálne rozdeľujeme túto trajektóriu na množstvo malých úsekov, z ktorých každý možno považovať za malú naklonenú rovinu. Pohyb telesa po celej jeho trajektórii možno znázorniť ako pohyb po mnohých naklonených rovinách. Práca vykonaná gravitáciou na každej sekcii sa bude rovnať súčinu gravitácie a výške tejto sekcie. Ak sú zmeny výšok v jednotlivých oblastiach rovnaké, potom je práca gravitácie na nich rovnaká:
Celková práca na celej trajektórii sa rovná súčtu práce na jednotlivých úsekoch:
- celková výška, ktorú telo prekonalo,
Práca gravitácie teda nezávisí od dráhy telesa a vždy sa rovná súčinu gravitácie a rozdielu výšok v počiatočnej a konečnej polohe. Q.E.D.
Pri pohybe nadol je práca pozitívna, pri pohybe nahor negatívna.
Nechajte nejaké teleso pohybovať sa po uzavretej trajektórii, to znamená, že najprv išlo dole a potom po inej trajektórii sa vrátilo do východiskového bodu. Keďže teleso skončilo v rovnakom bode, v ktorom bolo na začiatku, rozdiel vo výškach medzi počiatočnou a konečnou polohou telesa je nulový, preto práca vykonaná gravitáciou bude nulová. teda práca vykonaná gravitáciou pri pohybe telesa po uzavretej trajektórii je nulová.
Vo vzorci pre prácu gravitácie vyberieme (-1) zo zátvoriek:
Z predchádzajúcich lekcií vieme, že práca síl pôsobiacich na teleso sa rovná rozdielu medzi konečnou a počiatočnou hodnotou kinetickej energie telesa. Výsledný vzorec tiež ukazuje spojenie medzi prácou gravitácie a rozdielom medzi hodnotami určitej fyzikálnej veličiny rovným . Toto množstvo sa nazýva potenciálnu energiu tela, ktorá je vo výške h nad nejakou nulovou úrovňou.
Zmena potenciálnej energie je záporná, ak sa vykoná pozitívna gravitačná práca (možno vidieť zo vzorca). Ak sa vykoná negatívna práca, zmena potenciálnej energie bude pozitívna.
Ak telo spadne z výšky h na nulovú úroveň, potom sa práca vykonaná gravitáciou bude rovnať hodnote potenciálnej energie telesa zdvihnutého do výšky h.
Potenciálna energia tela, zdvihnutý do určitej výšky nad nulovú úroveň, sa rovná práci vykonanej gravitáciou, keď dané teleso spadne z danej výšky do nulovej úrovne.
Na rozdiel od kinetickej energie, ktorá závisí od rýchlosti telesa, sa potenciálna energia nemusí rovnať nule ani pre telesá v pokoji.
Ryža. 4. Telo pod nulovou úrovňou
Ak je teleso pod nulovou úrovňou, potom má negatívnu potenciálnu energiu (pozri obr. 4). To znamená, že znamienko a veľkosť potenciálnej energie závisí od výberu nulovej úrovne. Práca vykonaná pri pohybe telesa nezávisí od voľby nulovej úrovne.
Pojem „potenciálna energia“ sa vzťahuje len na sústavu telies. Vo všetkých vyššie uvedených úvahách bol tento systém „Zem je telo vyvýšené nad Zemou“.
Homogénny pravouhlý rovnobežnosten s hmotou m s rebrami sú umiestnené na vodorovnej rovine postupne na každej z troch plôch. Aká je potenciálna energia kvádra v každej z týchto polôh?
Vzhľadom na to:m- hmotnosť rovnobežnostena; - dĺžka okrajov rovnobežnostena.
Nájsť:; ;
Riešenie
Ak potrebujete určiť potenciálnu energiu telesa konečných rozmerov, potom môžeme predpokladať, že celá hmotnosť takéhoto telesa je sústredená v jednom bode, ktorý sa nazýva ťažisko tohto telesa.
V prípade symetrických geometrických telies sa ťažisko zhoduje s geometrickým stredom, teda (pre tento problém) s priesečníkom uhlopriečok rovnobežnostena. Preto je potrebné vypočítať výšku, v ktorej sa daný bod nachádza pre rôzne miesta rovnobežnostena (pozri obr. 5).
Ryža. 5. Ilustrácia problému
Na nájdenie potenciálnej energie je potrebné vynásobiť získané hodnoty výšky hmotnosťou rovnobežnostena a gravitačným zrýchlením.
odpoveď:; ;
V tejto lekcii sme sa naučili, ako vypočítať prácu gravitácie. Zároveň sme videli, že bez ohľadu na trajektóriu pohybu tela je práca gravitácie určená rozdielom medzi výškami počiatočnej a konečnej polohy tela nad určitou nulovou úrovňou. Zaviedli sme tiež koncept potenciálnej energie a ukázali sme, že práca gravitácie sa rovná zmene potenciálnej energie telesa s opačným znamienkom. Koľko práce treba vynaložiť na prenesenie vreca múky s hmotnosťou 2 kg z police umiestnenej vo výške 0,5 m od podlahy na stôl umiestnený vo výške 0,75 m od podlahy? Aká je potenciálna energia vreca múky ležiaceho na poličke vzhľadom na podlahu a jeho potenciálna energia, keď je na stole?