Članek je posvečen analizi nalog 15 profil Enotni državni izpit iz matematike za leto 2017. Pri tej nalogi se od šolarjev zahteva, da rešijo neenačbe, največkrat logaritemske. Čeprav so morda okvirne. Ta članek vsebuje analizo primerov logaritemske neenakosti, vključno s tistimi, ki vsebujejo spremenljivko na dnu logaritma. Vsi primeri so vzeti iz odprte zbirke nalog Enotnega državnega izpita iz matematike (profil), zato se bodo takšne neenakosti verjetno pojavile na izpitu kot naloga 15. Idealno za tiste, ki se želijo naučiti reševati nalogo 15 iz drugega dela profilnega enotnega državnega izpita v kratkem času iz matematike, da bi dobili več ocen na izpitu.
Analiza nalog 15 iz profila Enotnega državnega izpita iz matematike
| Primer 1. Rešite neenačbo: |
V nalogah 15 Enotnega državnega izpita iz matematike (profil) se pogosto srečujejo z logaritemskimi neenakostmi. Reševanje logaritemskih neenakosti se začne z določitvijo območja sprejemljivih vrednosti. V tem primeru v osnovi obeh logaritmov ni spremenljivke, obstaja samo število 11, kar močno poenostavi problem. Edina omejitev, ki jo imamo tukaj, je, da sta oba izraza pod znakom logaritma pozitivna:
Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}
Prva neenačba v sistemu je kvadratna neenačba. Da bi jo rešili, bi res radi faktorizirali levo stran. Mislim, da veste, da je vsak kvadratni trinom oblike 
je faktoriziran na naslednji način:
kjer sta in sta korena enačbe. V tem primeru je koeficient 1 (to je numerični koeficient pred ). Tudi koeficient je enak 1, koeficient pa je navidezni člen, enak je -20. Korene trinoma najlažje določimo z uporabo Vietovega izreka. Enačba, ki smo jo podali, pomeni, da bo vsota korenin enaka koeficientu z nasprotnim predznakom, to je -1, produkt teh korenin pa bo enak koeficientu, to je -20. Zlahka je uganiti, da bodo korenine -5 in 4.
Zdaj lahko levo stran neenakosti faktoriziramo: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X v točkah -5 in 4. To pomeni, da je zahtevana rešitev neenačbe interval . Za tiste, ki ne razumete, kaj je tukaj napisano, si lahko ogledate podrobnosti v videu, od tega trenutka naprej. Tam boste našli tudi podrobno razlago, kako se reši druga neenačba sistema. Rešuje se. Poleg tega je odgovor popolnoma enak kot za prvo neenakost sistema. To pomeni, da je zgoraj napisano območje dovoljenih vrednosti neenakosti.
Torej ima prvotna neenakost ob upoštevanju faktorizacije obliko:
S formulo dodamo 11 potenci izraza pod predznakom prvega logaritma in premaknemo drugi logaritem na levo stran neenakosti, pri čemer mu predznak spremenimo v nasprotno:
Po zmanjšanju dobimo:
Zadnja neenačba je zaradi naraščanja funkcije enakovredna neenačbi 
, katerega rešitev je interval 
. Vse kar ostane je, da ga presekamo z območjem sprejemljivih vrednosti neenakosti in to bo odgovor na celotno nalogo.
Torej, zahtevani odgovor na nalogo izgleda takole:
To nalogo smo obravnavali, zdaj preidemo na naslednji primer naloge 15 Enotnega državnega izpita iz matematike (profil).
| Primer 2. Rešimo neenačbo:
|
Rešitev začnemo z določitvijo obsega sprejemljivih vrednosti te neenakosti. Na dnu vsakega logaritma mora biti pozitivno število, ki ni enako 1. Vsi izrazi pod znakom logaritma morajo biti pozitivni. Imenovalec ulomka ne sme vsebovati ničle. Zadnji pogoj je enakovreden dejstvu, da , saj le v nasprotnem primeru oba logaritma v imenovalcu izničita. Vsi ti pogoji določajo obseg dovoljenih vrednosti te neenakosti, podane z naslednjim sistemom neenakosti:
Title="Upodobilo QuickLaTeX.com">!}
V območju sprejemljivih vrednosti lahko uporabimo formule za pretvorbo logaritmov, da poenostavimo levo stran neenakosti. Uporaba formule 
znebimo se imenovalca:
Zdaj imamo samo logaritme z osnovo. To je že bolj priročno. Nato uporabimo formulo in tudi formulo, da izraz, vreden slave, prenesemo v naslednjo obliko:
Pri izračunih smo uporabili tisto, kar je bilo v območju sprejemljivih vrednosti. Z zamenjavo pridemo do izraza:
Uporabimo še eno zamenjavo: . Kot rezultat pridemo do naslednjega rezultata:
Tako se postopoma vračamo k prvotnim spremenljivkam. Najprej k spremenljivki:
Enotni državni izpit na ravni profila matematike
Delo je sestavljeno iz 19 nalog.
1. del:
8 nalog s kratkimi odgovori osnovne težavnostne stopnje.
2. del:
4 naloge s kratkimi odgovori
7 nalog s podrobnimi odgovori visoka stopnja težave.
Trajanje - 3 ure 55 minut.
Primeri nalog enotnega državnega izpita
Reševanje nalog enotnega državnega izpita iz matematike.
Če želite to rešiti sami:
1 kilovatna ura električne energije stane 1 rubelj 80 kopejk.
Števec električne energije je 1. novembra pokazal 12.625 kilovatnih ur, 1. decembra pa 12.802 kilovatnih ur.
Koliko naj plačam elektrike za november?
Odgovorite v rubljih.
V menjalnici 1 grivna stane 3 rublje 70 kopejk.
Dopustniki so zamenjali rublje za grivno in kupili 3 kg paradižnika po ceni 4 grivne za 1 kg.
Koliko rubljev jih je stal ta nakup? Odgovor zaokrožite na celo število.
Maša je poslala SMS-sporočila z novoletnimi voščili svojim 16 prijateljem.
Cena enega SMS sporočila je 1 rubelj 30 kopeck. Pred pošiljanjem sporočila je imela Maša na računu 30 rubljev.
Koliko rubljev bo Maši ostalo po pošiljanju vseh sporočil?
Šola ima šotore za tri osebe.
Kakšno je najmanjše število šotorov, ki jih morate vzeti s seboj na kampiranje z 20 ljudmi?
Vlak Novosibirsk-Krasnoyarsk odpelje ob 15.20 in prispe naslednji dan ob 4.20 (po moskovskem času).
Koliko ur vozi vlak?
Veš kaj?
Med vsemi figurami z enakim obsegom bo imel krog največjo ploščino. Nasprotno pa bo med vsemi oblikami z enako ploščino krog imel najmanjši obseg.
Leonardo da Vinci je prišel do pravila, po katerem je kvadrat premera drevesnega debla enaka vsoti kvadratov premerov vej, vzetih na skupni fiksni višini. Kasnejše študije so to potrdile le z eno razliko - stopnja v formuli ni nujno enaka 2, ampak je v območju od 1,8 do 2,3. Tradicionalno je veljalo, da je ta vzorec razložen z dejstvom, da ima drevo s takšno zgradbo optimalen mehanizem za oskrbo svojih vej s hranili. Toda leta 2010 je ameriški fizik Christophe Alloy našel enostavnejšo mehansko razlago za pojav: če drevo obravnavamo kot fraktal, potem Leonardov zakon zmanjša verjetnost lomljenja vej pod vplivom vetra.
Laboratorijske študije so pokazale, da so čebele sposobne izbrati optimalno pot. Po lokalizaciji cvetov, postavljenih na različnih mestih, čebela opravi let in se vrne nazaj tako, da se končna pot izkaže za najkrajšo. Tako se te žuželke učinkovito spopadejo s klasičnim »problemom trgovskega potnika« iz računalništva, za reševanje katerega lahko sodobni računalniki, odvisno od števila točk, porabijo več kot en dan.
Neka prijateljica je prosila Einsteina, naj jo pokliče, vendar je opozorila, da si je njeno telefonsko številko zelo težko zapomniti: - 24-361. Ali se spomniš? ponovi! Presenečen Einstein je odgovoril: "Seveda se spomnim!" Dva ducata in 19 na kvadrat.
Stephen Hawking je eden vodilnih teoretičnih fizikov in popularizator znanosti. Hawking je v svoji zgodbi o sebi omenil, da je postal profesor matematike, ne da bi se od Srednja šola. Ko je Hawking začel poučevati matematiko na Oxfordu, je učbenik prebral dva tedna pred svojimi učenci.
Največje število, ki ga je mogoče zapisati z rimskimi številkami, ne da bi kršili Shvartsmanova pravila (pravila za pisanje rimskih številk), je 3999 (MMMCMXCIX) - ne morete napisati več kot treh števk zaporedoma.
Obstaja veliko prispodob o tem, kako nekdo povabi drugega, da mu plača za neko storitev na naslednji način: na prvo polje šahovnice bo položil eno zrno riža, na drugo - dve in tako naprej: na vsako naslednje polje. dvakrat toliko kot na prejšnjem. Posledično bo tisti, ki bo tako plačeval, zagotovo bankrotiral. To ni presenetljivo: ocenjuje se, da bo skupna teža riža več kot 460 milijard ton.
V mnogih virih je izjava, da je Einstein v šoli izgubil matematiko ali pa se je na splošno zelo slabo učil pri vseh predmetih. Pravzaprav vse ni bilo tako: Albert je že zgodaj začel kazati nadarjenost za matematiko in jo je poznal daleč preko šolskega kurikuluma.
Enotni državni izpit 2020 iz matematike naloga 15 z rešitvijo
Demo Možnost enotnega državnega izpita 2020 iz matematike
Enotni državni izpit iz matematike 2020 v formatu pdf Osnovna raven | Raven profila
Naloge za pripravo na enotni državni izpit iz matematike: osnovna in specializirana raven z odgovori in rešitvami.
Matematika: Osnovna | profil 1-12 | | | | | | | | domov
Enotni državni izpit 2020 iz matematike, naloga 15
Enotni državni izpit 2020 na stopnji naloge 15 profila matematike z rešitvijo
Enotni državni izpit iz matematike, naloga 15
Pogoj:
Reši neenačbo:
log 2 ((7 -x 2 - 3) (7 -x 2 +16 -1)) + log 2 ((7 -x 2 -3)/(7 -x 2 +16 - 1)) > log 2 ( 7 7-x 2 - 2) 2
rešitev:
Ukvarjajmo se z ODZ:
1. Izraz pod prvim znakom logaritma mora biti večji od nič:
(7 (-(x 2))-3) (7 (-(x 2) + 16) -1) > 0
X 2 je vedno manjši ali enak nič, torej
7 (-x 2)< = 1, следовательно,
7 (-x 2) - 3< = -2 < 0
To pomeni, da je za izpolnjen prvi pogoj na ODZ potrebno, da
7 (-(x 2)+16) - 1< 0
7 (-(x 2)+16)< 1 = 7 0
-(x 2)+16< 0
x 2 > 16
x pripada (-neskončno; -4) U (4, +neskončno)
2. Izraz pod drugim znakom logaritma mora biti večji od nič. Toda tam bo rezultat enak kot v prvem odstavku, saj so isti izrazi v oklepaju.
3. Izraz pod tretjim znakom logaritma mora biti večji od nič.
(7 (7-x 2) -2) 2 > 0
Ta neenakost velja vedno, razen kadar
7 (7-x 2) -2 = 0
7 (7-x 2) = 7 (log_7(2))
7-x 2 = log_7(2)
x 2 = 7 - log_7(2)
x = (+-)sqrt(7-log_7(x))
Ocenimo, čemu je sqrt(7-log_7(x)) približno enako.
1/3 = log_8(2)< log_7(2) < log_4(2) = 1/2
2 = sqrt(4)< sqrt(7-1/2) < sqrt(7-log_7(2)) < sqrt(7-1/3) < sqrt(9) = 3
To pomeni, da pogoj x ni enak (+-)sqrt(7-log_7(x)) je že odvečen, saj smo v odstavku (1) že izključili interval, ki vključuje te točke iz ODZ.
Torej še enkrat ODZ:
x pripada (- neskončnost; -4) U (4, + neskončnost)
4. Zdaj lahko z uporabo lastnosti logaritma prvotno neenakost transformiramo takole:
log_2((7 (-x 2) - 3) 2) > log_2((7 (7 - x 2) - 2) 2)
Log_2(x) je naraščajoča funkcija, zato se znebimo logaritma, ne da bi spremenili predznak:
(7 (-x 2) -3) 2 > (7 (7-x 2) -2) 2
Ocenimo od zgoraj in spodaj izraze (7 (-x 2) -3) 2 in (7 (7-x 2) -2) 2, ob upoštevanju ODZ:
X 2< -16
0 < 7 (-x 2) < 1
-3 < 7 (-x 2) -3 < -2
4 < (7 (-x 2) -3) 2 < 9
X 2< -16
0 < 7 (7-x 2) < 1
-2 < 7 (-x 2) -2 < -1
1 < (7 (-x 2) -3) 2 < 4
To pomeni, da neenakost velja za vsak x, ki pripada ODZ.