где, р - номер текущей итерации; vt - полная скорость скольжения металла по поверхности инструмента; vn - нормальная скорость движения металла; wn - нормальная скорость движения инструмента; st - напряжение трения;
- Напряжение текучести как функция параметров деформируемого металла, в данной точке; - Среднее напряжение; - Интенсивность скорости деформации; x0 - скорость деформации всестороннего сжатия; Kt - штрафной множитель на скорость скольжения металла по инструменту (уточняется методом итераций) Kn - штрафной множитель на проникновение металла в инструмент; m - условная вязкость металла, уточняется по методу гидродинамических приближений; - Напряжение натяжения или подпора при прокатке; Fn - площадь поперечного сечения конца трубы, к которому приложено натяжения или подпор.
Расчет деформационно-скоростного режима включает распределение по клетях состояния деформаций по диаметру, необходимой величины коэффициента пластического натяжения по состоянию Zобщ, расчет коэффициентов вытяжек, катают диаметров валков и частоты вращения двигателей главного привода с учетом особенностей его конструкции.
Для первых клетей стана, включая первую клеть, что катает, и для последних, размещенных после последней клети, катает, коэффициенты пластического натяжения в них Zср.i меньше необходимого Zобщ. Через такое распределение коэффициентов пластического натяжения по всем клетях стана расчетная толщина стенки на выходе из него больше, чем необходимо по маршруту редуцирования. Чтобы компенсировать недостаточную тянущую способность валков клетей, расположенных в первой и после последней клетей, что катают, надо с помощью итерационного вычисления найти такую величину Zобщ, чтобы расчетная и заданная толщина стенки на выходе из состояния были одинаковыми. Чем больше величина необходимого общего коэффициента пластического натяжения по состоянию Zобщ, тем больше ошибка в его определении без итерационного вычисления.
После того, как итерационным вычислениям рассчитаны коэффициенты переднего и заднего пластического натяжения, толщины стенки трубы на входе и выходе ячеек деформации по клетях редукционного стана, окончательно определяем положение первой и последней клетей, что катают.
Конечно катая диаметр определяют через центральный угол qк.п. между вертикальной осью симметрии ручья валка и линией, проведенной из центра калибра, совпадает с осью прокатки в точку на поверхности ручья калибра, где на его поверхности находится нейтральная линия очага деформации, условно расположена параллельно оси прокатки. Величина угла qк.п., прежде всего, зависит от величины коэффициента заднего Zзад. и переднего Zпер. натяжения, а также коэффициента
вытяжки.
Определение катая диаметра по величине угла qк.п. обычно выполняют для калибра, имеет форму круга с центром в оси прокатки и диаметром, равным среднему диаметру калибра Dср.
Наибольшие погрешности при определении величины катая диаметра без учета фактических геометрических размеров калибра будут для случая, когда условия прокатки определяют его положение или у дна или у реборды калибра. Чем больше реальная форма калибра будет отличаться от принятого в расчетах круга, тем значительнее будет эта погрешность.
Максимально возможный диапазон изменения фактической величины диаметра, катает калибра представляет собой врез ручья валка. Чем большее количество валков образует калибр, тем будет больше относительная погрешность определения катая диаметра без учета фактических геометрических размеров калибра.
С увеличением частичного обжатия диаметра трубы в калибре растет отличие его формы от круглой. Так при увеличении обжатия диаметра трубы от 1 до 10% относительная погрешность в определении величины катая диаметра без учета фактических геометрических размеров калибра увеличивается от 0,7 до 6,3% для двухвалковая, 7,1% - для трехвалковая и 7,4% - для чотирьохвалковои "катая" клети когда по кинематических условиях прокатки катая диаметр расположенный по дну калибра.
Одновременное увеличение одинакового
Ильяшенко А.В. – Доцент кафедры «Строительная механика»
Московского государственного строительного университета,
кандидат технических наук
Исследование несущей способности сжатых упругих тонкостенных стержней, имеющих начальную погибь и претерпевших местную потерю устойчивости, связано с определением редуцированного поперечного сечения стержня. Основные положения, принятые для исследования напряжённо-деформированного состояния в закритической стадии сжатых неидеальных тонкостенных стержней, приведены в работах . В данной статье рассматривается закритическое поведение стержней, которые представляются в виде совокупности совместно работающих элементов – пластинок с начальной погибью, имитирующих работу полок уголковых, тавровых и крестообразных профилей. Это так называемые полки-пластинки с одним упруго защемлённым краем и другим свободным (см.рисунок). В работах такая пластинка относится к типу II.
Было установлено , что разрушающая нагрузка, характеризующая несущую способность стержня, значительно превышает нагрузку Р кр (м) , при которой происходит местная потеря устойчивости несовершенного профиля. Из графиков, представленных в , видно, что деформации продольных волокон по периметру поперечного сечения в закритической стадии становятся крайне неодинаковыми. В волокнах, удалённых от рёбер, деформации сжатия при увеличении нагрузки уменьшаются, а при нагрузках, близких к предельным, из-за резкого искривления этих волокон вследствие начальных погибей и всё возрастающих стрелок продольных полуволн, образовавшихся после местной потери устойчивости, появляются и интенсивно растут деформации растяжения.
Участки поперечного сечения с искривлёнными продольными волокнами сбрасывают напряжения, как бы выключаются из работы стержня, ослабляя эффективное сечение и уменьшая его жёсткость. Итак, несущая способность тонкостенного профиля не ограничивается местной потерей устойчивости. Полная нагрузка, воспринимаемая более жёсткими (менее искривлёнными) участками поперечного сечения, может значительно превосходить величину Р кр (м) .
Получим эффективное, редуцированное сечение, исключив неработающие участки профиля. Для этого используем выражение для функции напряжений Ф k (х,у), описывающей напряжённое состояние k-ой пластинки типа II (см. ).
Перейдём к закритическим напряжениям σ kх (в направлении действия внешней сжимающей силы), определяемым в наиболее неблагоприятном сечении стержня (х=0). Запишем их в общем виде:
σ kx =∂ 2 Ф k (A km ,y, f kj , f koj , β c,d , β c,d,j ,ℓ, s) ∕ ∂ y 2 , (1)
где постоянные интегрирования А km (m=1,2,…,6) и стрелки составляющих приобретённых прогибов f kj (j=1,2) определяются из решения системы разрешающих уравнений . Эта система уравнений включает в себя нелинейные вариационные уравнения и граничные условия, описывающие совместную работу неидеальных пластинок профиля. Стрелки f koj (j=1,2,…,5) составляющих начального прогиба k-й пластинки определяются для каждого типа профиля экспериментально;
ℓ – длина образующейся при местной потере устойчивости полуволны ;
s – ширина пластинки;
β c,d =cs 2 + dℓ 2 ;
β c,d,j = cs 4 + dℓ 2 s 2 + gℓ 4 ;
c, d, j – целые положительные числа.
Приведённую или эффективную ширину редуцированного сечения пластинки-полки (типа II) обозначим через s п. Для её определения выпишем условия перехода от действительного поперечного сечения стержня к редуцированному:
1. Напряжения в продольных волокнах у начальной грани пластинки (при у=0), примыкающей к ребру (см.рисунок), остаются такими же, как и полученные по нелинейной теории (1):
где F 2 kr =f 2 kr +2f k0r f kr .
Для определения напряжения σ k2 =σ k max необходимо подставить в (1) ординату наиболее загруженного продольного волокна, которая находится из условия: ∂σ kx /∂y=0.
2. Сумма внутренних усилий в пластинке при переходе к редуцированному сечению в направлении действия сжимающей силы не меняется:
3. Момент внутренних усилий относительно оси, проходящей через начальную грань (у=0) перпендикулярно плоскости пластинки, остаётся прежним:
Из рисунка очевидно, что
σ ′ k2 = σ k1 + y п (σ k2 -σ k1) / (y п + s п). (5)
Запишем систему уравнений для определения приведённой ширины пластинки s п. Для этого подставим (1) и (5) в (3) и (4):
где α=πs/ℓ ; F kr,ξ =f kr f koξ +f kr f kξ +f kor f kξ ;
r, ξ – целые положительные числа.
Полученная система уравнений (6) и (7) даёт возможность определить приведённую ширину s п каждой из пластинок-полок, составляющих сжатый претерпевший местную потерю устойчивости тонкостенный стержень. Таким образом, действительное поперечное сечение профиля заменили на редуцированное.
Предлагаемая методика представляется полезной как в теоретическом, так и в практическом плане при расчётах на несущую способность сжатых предварительно искривлённых тонкостенных стержней, в которых по эксплуатационным требованиям допустимо местное волнообразование.
Библиографический список
- Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби // Строительные конструкции и материалы. Защита от коррозии. – Уфа: Тр.ин-та НИИпромстрой, 1981. – С.110-119.
- Ильяшенко А.В. К расчёту тонкостенных тавровых, уголковых и крестообразных профилей с начальной погибью // Свайные фундаменты. – Уфа: Сб. науч. тр. Ниипромстроя, 1983. – С. 110-122.
- Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Экспериментальное исследование тонкостенных стежней с искривлёнными пластинчатыми элементами // Организация и производство строительных работ. – М.: Центр.Бюро н.-т. информации Минпромстроя, 1983.
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Холкин Евгений Геннадьевич. Исследование местной устойчивости тонкостенных трапециевидных профилей при продольно-поперечном изгибе: диссертация... кандидата технических наук: 01.02.06 / Холкин Евгений Геннадьевич; [Место защиты: Ом. гос. техн. ун-т].- Омск, 2010.- 118 с.: ил. РГБ ОД, 61 10-5/3206
Введение
1. Обзор исследований устойчивости сжатых пластинчатых элементов конструкций 11
1.1. Основные определения и методы исследования устойчивости механических систем 12
1.1.1, Алгоритм исследования устойчивости механических систем статическим методом 16
1.1.2. Статический подход. Методы: Эйлера, неидеальностей, энергетический 17
1.2. Математическая модель и основные результаты аналитических исследований устойчивости по Эйлеру. Коэффициент устойчивости 20
1.3. Методы исследования устойчивости пластинчатых элементов и конструкций из них 27
1.4. Инженерные методы расчета пластин и составных пластинчатых элементов. Понятие о методе редуцирования 31
1.5. Численные исследования устойчивости по Эйлеру методом конечных элементов: возможности, достоинства и недостатки 37
1.6. Обзор экспериментальных исследований устойчивости пластин и составных пластинчатых элементов 40
1.7. Выводы и задачи теоретических исследований устойчивости тонкостенных трапециевидных профилей 44
2. Разработка матеметических моделей и алгоритмов расчета устойчивости тонкостенных пластинчатых элементов трапециевидных профилей :47
2.1. Продольно-поперечный изгиб тонкостенных пластинчатых элементов трапециевидных профилей 47
2.1.1. Постановка задачи, основные допущения 48
2.1.2. Математическая модель в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Граничные условия, метод неидеальностей 50
2.1.3. Алгоритм численного интегрирования, определения критических на
пряжений и его реализация в MS Excel 52
2.1.4. Результаты расчетов и их сравнение с известными решениями 57
2.2. Расчет критических напряжений для отдельного пластинчатого элемента
в составе профиля ^..59
2.2.1. Модель, учитывающая упругое сопряжение пластинчатых элементов профиля. Основные допущения и задачи численного исследования 61
2.2.2. Численное исследование жесткости сопряжений и аппроксимация результатов 63
2.2.3. Численное исследование длины полуволны потери устойчивости при первой критической нагрузке и аппроксимация результатов 64
2.2.4. Вычисление коэффициента к{/Зх,/32). Аппроксимация результатов расчета (A,/?2) 66
2.3. Оценка адекватности расчетов сопоставлением с численными решениями методом конечных элементов и известными аналитическим решениями 70
2.4. Выводы и задачи экспериментального исследования 80
3. Экспериментальные исследования на местную устойчивость тонкостенных трапециевидных профилей 82
3.1. Описание опытных образцов и экспериментальной установки 82
3.2. Испытания образцов 85
3.2.1. Методика и содержание испытаний Г..85
3.2.2. Результаты испытаний образцов на сжатие 92
3.3. Выводы 96
4. Учет местной устойчивости в расчетах несущих конструкций из тонкостенных трапециевидных профилей при плоском продольно - поперечном изгибе 97
4.1. Вычисление критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов и предельной толщины тонкостенного трапециевидного профиля 98
4.2. Область допустимых нагрузок без учета местной потери стойчивости 99
4.3. Коэффициент редуцирования 101
4.4. Учет местной потери устойчивости и редуцирования 101
Выводы 105
Библиографический список
Введение к работе
Актуальность работы.
Создание легких, прочных и надежных конструкций является актуальной задачей. Одно из основных требований в машиностроении и строительстве -снижение металлоёмкости. Это приводит к тому, что элементы конструкций должны рассчитываться по более точным определяющим соотношениям, учитывающим опасность как общей, так и местной потери устойчивости.
Один из путей решения задачи минимизации веса - применение высокотехнологичных тонкостенных трапециевидных прокатных профилей (ТТП). Профили изготавливаются путем прокатки тонколистовой стали толщиной 0,4... 1,5 мм в стационарных условиях или непосредственно на монтажной площадке как плоские или арочные элементы. Конструкции с применением несущих арочных покрытий из тонкостенного трапециевидного профиля отличаются легкостью, эстетичным видом, простотой монтажа и рядом других преимуществ по сравнению с традиционными видами покрытий.
Основной вид нагружения профиля - продольно-поперечный изгиб. Тон-
jfflF dMF" кие пластинчатые элементы
профиля, испытывающие
сжатие в срединной плос
кости, могут терять мест
ную устойчивость. Местная
потеря устойчивости
Рис. 1. Пример местной потери устойчивости
Ям,
^J
Рис. 2. Схема редуцированного сечения профиля
(МПУ) наблюдается на ограниченных участках по длине профиля (рис. 1) при значительно меньших нагрузках, чем общая потеря устойчивости и напряжениях, соизмеримых с допускаемыми. При МПУ отдельный сжатый пластинчатый элемент профиля полностью или частично перестает воспринимать нагрузку, которая перераспределяется между остальными пластинчатыми элементами сечения профиля. При этом в сечении, где произошла МПУ, напряжения не обязательно превышают допустимые. Это явление называется редуцированием. Редуцирование
заключается в уменьшении, по сравнению с реальной, площади поперечного сечения профиля при сведении к идеализированной расчетной схеме (рис.2). В этой связи разработка и внедрение инженерных методов учета местной потери устойчивости пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля является актуальной задачей.
Вопросами устойчивости пластин занимались видные ученые: Б.М. Бро-уде, Ф. Блейх, Я. Брудка, И.Г. Бубнов, В.З. Власов, А.С. Вольмир, А.А. Ильюшин, Майлс, Мелан, Я.Г. Пановко, СП. Тимошенко, Саутвелл, Э. Стоуэл, Уиндерберг, Хвалла и другие. Инженерные подходы к анализу критических напряжений при местной потере устойчивости разработаны в трудах Э.Л. Айрумяна, Бургграфа, А.Л. Васильева, Б.Я. Володарского, М.К. Глоумана, Калдвелла, В.И. Климанова, В.Г. Крохалева, Д.В. Марцинкевича, Е.А. Пав-линовой, А.К. Перцева, Ф.Ф. Тамплона, С.А. Тимашева.
В указанных инженерных методиках расчета для профилей с сечением сложной формы опасность МПУ практически не учитывается. На стадии эскизного проектирования конструкций из тонкостенных профилей важно иметь простой аппарат для оценки несущей способности конкретного типоразмера. В связи с этим существует потребность в разработке инженерных методов расчета, позволяющих в процессе проектирования конструкций из тонкостенных профилей оперативно оценивать их несущую способность. Проверочный расчет несущей способности конструкции из тонкостенного профиля может быть произведен при помощи уточненных методов с применением существующих программных продуктов и при необходимости скорректирован. Такая двухступенчатая система расчета несущей способности конструкций из тонкостенных профилей наиболее рациональна. Поэтому разработка и внедрение инженерных методов расчета несущей способности конструкций из тонкостенных профилей с учетом местной потери устойчивости пластинчатых элементов является актуальной задачей.
Цель диссертационной работы: исследование местной потери устойчивости в пластинчатых элементах тонкостенных трапециевидных профилей при их продольно-поперечном изгибе и разработка инженерной методики расчета несущей способности с учетом местной устойчивости.
Для достижения цели поставлены следующие задачи исследования.
Распространение аналитических решений устойчивости сжатых прямоугольных пластин на систему сопряженных пластин в составе профиля.
Численное исследование математической модели местной устойчивости профиля и получение адекватных аналитических выражений для минимального критического напряжения МПУ пластинчатого элемента.
Экспериментальная оценка степени редуцирования в сечении тонкостенного профиля при местной потере устойчивости.
Разработка инженерной методики проверочного и проектного расчета тонкостенного профиля с учетом местной потери устойчивости.
Научная новизна работы заключается в разработке адекватной математической модели местной потери устойчивости для отдельного пластинчатого
элемента в составе профиля и получение аналитических зависимостей для расчета критических напряжений.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается базированием на фундаментальных аналитических решениях задачи устойчивости прямоугольных пластин, корректным применением математического аппарата, достаточным для практических расчетов совпадением с результатами расчетов МКЭ и экспериментальными исследованиями.
Практическая значимость заключается в разработке инженерной методики расчетов несущей способности профилей с учетом местной потери устойчивости. Результаты работы внедрены в ООО «Монтажпроект» в виде системы таблиц и графических представлений областей допустимых нагрузок для всего сортамента производимых профилей, учитывающих местную потерю устойчивости, и используются для предварительного выбора типа и толщины материала профиля для конкретных конструктивных решений и видов нагружения.
Основные положения, выносимые на защиту.
Математическая модель плоского изгиба и сжатия тонкостенного профиля как системы сопряженных пластинчатых элементов и методика определения на ее основе критических напряжений МПУ в смысле Эйлера.
Аналитические зависимости для вычисления критических напряжений местной потери устойчивости для каждого пластинчатого элемента профиля при плоском продольно-поперечном изгибе.
Инженерная методика проверочного и проектного расчета тонкостенного трапециевидного профиля с учетом местной потери устойчивости. Апробация работы и публикации.
Основные положения диссертации доложены и обсуждены на научно-технических конференциях различного уровня: Международный конгресс «Машины, технологии и процессы в строительстве» посвященный 45-летию факультета «Транспортные и технологические машины» (Омск, СибАДИ, 6-7 декабря 2007г.); Всероссийская научно - техническая конференция, «РОССИЯ МОЛОДАЯ: передовые технологии - в промышленность» (Омск, Ом-ГТУ, 12-13 ноября 2008г.).
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 118 страницах текста, состоит из введения, 4 глав и одного приложения, содержит 48 рисунков, 5 таблиц. Список литературы включает 124 наименования.
Математическая модель и основные результаты аналитических исследований устойчивости по Эйлеру. Коэффициент устойчивости
Любой инженерный проект опирается на решение дифференциальных уравнений математической модели движения и равновесия механической системы. Составление проекта конструкции, механизма, машины сопровождается некоторыми допусками на изготовление, в дальнейшем - неидеально-стями. Неидеальности могут возникать и при эксплуатации в виде вмятин, зазоров вследствие износа и других факторов. Все варианты внешних воз--действий невозможно предусмотреть. Конструкция вынуждена работать под воздействием случайных возмущающих сил, которые не учтены в дифференциальных уравнениях.
Не учтенные в математической модели факторы - неидеальности, случайные силы или возмущения могут вносить серьезные коррективы в полученные результаты.
Различаются невозмущенное состояние системы - расчетное состояние при нулевых возмущениях, и возмущенное - образовавшееся вследствие возмущений.
В одном случае вследствие возмущения не происходит существенного изменения равновесного положения конструкции или ее движение мало от личается от расчетного. Такое состояние механической системы называют устойчивым. В других случаях равновесное положение или характер движения существенно отличается от расчетного, такое состояние называется неустойчивым.
Теория устойчивости движения и равновесия механических систем занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение или равновесие устойчивым или неустойчивым.
Типичным признаком перехода системы из устойчивого состояния в неустойчивое является достижение некоторым параметром значения, называемого критическим - критическая сила, критическая скорость и т.д.
Появление неидеальностей или воздействия неучтенных сил неизбежно приводят к движению системы. Поэтому в общем случае следует исследовать устойчивость движения механической системы при возмущениях. Такой подход к исследованию устойчивости называется динамическим, а соответствующие методы исследования - динамическими.
В практике часто бывает достаточно ограничиться статическим подходом, т.е. статическими методами исследования устойчивости. В этом случае исследуется конечный результат возмущения - новое установившееся положение равновесия механической системы и степень его отклонения от расчетного, невозмущенного положения равновесия.
Статическая постановка задачи предполагает не рассматривать силы инерции и параметр времени. Такая постановка задачи часто позволяет перевести модель из уравнений математической физики в обыкновенные дифференциальные уравнения. Это существенно упрощает математическую модель и облегчает аналитическое исследование устойчивости.
Положительный результат анализа устойчивости равновесия статическим методом не всегда гарантирует динамическую устойчивость. Однако для консервативных систем статический подход при определении критиче ских нагрузок и новых состояний равновесия приводит точно к таким же результатам, что и динамический .
В консервативной системе работа внутренних и внешних сил системы, совершаемая при переходе из одного состояния в другое, определяется только этими состояниями и не зависит от траектории движения.
Понятие «система» объединяет деформируемую конструкцию и нагрузки, поведение которых должно быть задано. Отсюда следуют два необходимых и достаточных условия консервативности системы: 1) упругость деформируемой конструкции, т.е. обратимость деформаций; 2) консервативность нагрузки, т.е. независимость совершаемой ей работы от траектории. В некоторых случаях статический метод дает удовлетворительные результаты и для неконсервативных систем.
Для наглядности вышесказанного рассмотрим несколько примеров из теоретической механики и сопротивления материалов.
1. Шар весом Q находится в углублении опорной поверхности (рис. 1.3). При действии возмущающей силы 5Р Q sina положение равновесия шара не меняется, т.е. оно устойчиво.
При кратковременном действии силы 5Р Q sina без учета трения качения возможен переход в новое положение равновесия либо колебания вокруг исходного положения равновесия. При учете трения колебательное движение будет затухающим, то есть устойчивым. Статический подход позволяет определить только критическое значение возмущающей силы, которая равна: Ркр = Q sina. Характер же движения при превышении критического значения возмущающего воздействия и критическую длительность воздействия можно анализировать только динамическими методами.
2. Стержень длиной / сжат силой Р (рис. 1.4). Из сопротивления материалов на базе статического метода известно, что при нагружении в пределах упругости существует критическое значение сжимающей силы.
Решение этой же задачи со следящей силой, направление которой совпадает с направлением касательной в точке приложения, статическим методом приводит к выводу об абсолютной устойчивости прямолинейной формы равновесия.
Математическая модель в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Граничные условия, метод неидеальностей
Инженерный анализ делится на две категории: классические и численные методы. Классическими методами пытаются решать задачи распределения полей напряжений и деформаций напрямую, формируя системы дифференциальных уравнений на основании фундаментальных принципов. Точное решение, если удается получить уравнения в замкнутой форме, возможно только для простейших случаев геометрии, нагрузок и граничных условий. Довольно широкий круг классических задач может быть решен с использованием приближенных решений систем дифференциальных уравнений. Эти решения имеют форму рядов, в которых младшие члены отбрасываются после исследования сходимости. Как и точные решения, приближенные требуют регулярной геометрической формы, простых граничных условий и удобного приложения нагрузок. Соответственно, данные решения не могут быть применены к большинству практических задач . Принципиальное преимущество классических методов состоит в том, что они обеспечивают глубокое понимание исследуемой проблемы. С помощью численных методов может быть исследован более широкий круг проблем. К численным методам относятся: 1) энергетический метод; 2) метод граничных элементов; 3) метод конечных разностей; 4) метод конечных элементов.
Энергетические методы позволяют отыскивать минимум выражения для полной потенциальной энергии конструкции на всей заданной области. Этот подход хорошо работает только при решении определенных задач.
Метод граничных элементов аппроксимирует функции, удовлетворяющие решаемой системе дифференциальных уравнений, но не граничные условия. Размерность задачи понижается, поскольку элементы представляют только границы моделируемой области. Однако применение этого метода требует знания фундаментального решения системы уравнений, которое бывает трудно получить.
Метод конечных разностей преобразует систему дифференциальных уравнений и граничные условия в соответствующую систему алгебраических -уравнений. Этот метод позволяет решать задачи анализа конструкций со сложной геометрией, граничными условиями и комбинированными нагрузками. Однако метод конечных разностей часто оказывается слишком медленным из-за того, что требование регулярной сетки на всей исследуемой области приводит к системам уравнений очень высоких порядков.
Метод конечных элементов может распространяться практически на неограниченный класс задач благодаря тому, что он позволяет использовать элементы простых и различных форм для получения разбиений . Размеры конечных элементов, которые могут быть скомбинированы для получения приближения к любым нерегулярным границам, в разбиении иногда различаются в десятки раз. Допускается приложение нагрузки произвольного вида к элементам модели, а также и наложение закрепления любого типа на них. Основной проблемой становится увеличение издержек для получения результата. За общность решения приходится платить потерей интуиции, поскольку конечно-элементное решение - это, по сути, множество чисел, которые применимы только к конкретной задаче, поставленной с помощью конечно-элементной модели. Изменение любого существенного аспекта в модели обычно требует полного повторного решения задачи. Однако, это несущественная цена, поскольку метод конечных элементов часто является единственно возможным способом ее решения. Метод применим ко всем классам проблем распределения полей, которые включают в себя анализ конструкций, перенос тепла, течение жидкости и электромагнетизм. К недостаткам численных методов можно отнести: 1) высокая стоимость программ конечноэлементного анализа; 2) долгое обучение работе с программой и возможность полноценной работы только высококвалифицированного персонала; 3) довольно часто невозможно проверить путем физического эксперимента правильность результата решения, полученного методом конечных элементов, в том числе, в нелинейных задачах. т Обзор экспериментальных исследований устойчивости пластин и составных пластинчатых элементов
Применяемые в настоящее время для строительных конструкций профили изготавливают из металлических листов толщиной от 0,5 до 5 мм и поэтому считаются тонкостенными. Их грани могут быть как плоскими, так и криволинейными.
Главная особенность работы тонкостенных профилей заключается в том, что грани с высоким значением отношения ширины к толщине испытывают при нагружении большие деформации выпучивания. Особенно интенсивный рост прогибов наблюдается тогда, когда величина действующих в грани напряжений приближается к критическому значению. Происходит потеря местной устойчивости, прогибы становятся сравнимы с толщиной грани. В результате этого поперечное сечение профиля сильно искажается.
В литературе об устойчивости пластинок особое место занимают работы русского ученого СП. Тимошенко . Ему принадлежит заслуга в разработке энергетического метода решения задач упругой устойчивости. Используя этот метод, СП. Тимошенко дал теоретическое решение задач устойчивости пластинок нагруженных в срединной плоскости при разных граничных условиях. Теоретические решения были проверены серией испытаний свободно опертых пластинок при равномерном сжатии. Испытания подтвердили теорию.
Оценка адекватности расчетов сопоставлением с численными решениями методом конечных элементов и известными аналитическим решениями
Для проверки достоверности полученных результатов были проведены численные исследования методом конечных элементов (МКЭ). В последнее время численные исследования МКЭ находят всё более широкое применение в силу объективных причин, таких как, отсутствие тестовых задач, невозможность соблюдения всех условий при испытаниях на образцах. Численные методы позволяют проводить исследования при «идеальных» условиях, имеют минимальную погрешность, что практически не реализуемо при реальных испытаниях. Численные исследования проводились в программе ANSYS.
Численные исследования проводились с образцами: прямоугольная пластина; П-образный и трапециевидный элемент профиля, имеющий продольный зиг и без зига; лист профиля (рис.2.11). Рассматривались образцы толщиной 0,7; 0,8; 0,9 и 1мм.
К образцам (рис.2.11) по торцам прикладывалась равномерная сжимающая нагрузка сгсж с последующим увеличением на шаг Дет. Нагрузке, соответствующей местной потере устойчивости плоской формы, соответствовала величина критического сжимающего напряжения сгкр. Затем по формуле (2.24) вычислялся коэффициент устойчивости &(/?і,/?г) и сравнивался со значением из таблицы 2.
Рассмотрим прямоугольную пластинку длиной а=100 мм и шириной 6=50 мм, сжатую по торцам равномерной сжимающей нагрузкой. В первом случае пластинка имеет шарнирное закрепление по контуру, во втором - жесткую заделку по боковым граням и шарнирное закрепление по торцам (рис.2.12).
В программе ANSYS к торцевым граням прикладывалась равномерная сжимающая нагрузка, определялась критическая нагрузка, напряжение и коэффициент устойчивости &(/?],/?2) пластинки. При шарнирном закреплении по контуру пластинка теряла устойчивость по второй форме (наблюдалось две выпучины) (рис. 2.13). Затем сравнивались коэффициенты устойчивости к,/32) пластинки, найденные численным и аналитическим путем. Результаты расчетов представлены в таблице 3.
Из таблицы 3 видно, что разница результатов аналитического и численного решения составила менее 1%. Отсюда сделали вывод, что предложенный алгоритм исследования на устойчивость можно применять при расчете критических нагрузок для более сложных конструкций.
Для распространения предлагаемой методики расчета местной устойчивости тонкостенных профилей на общий случай нагружения в программе ANSYS проведены численные исследования для выяснения, как влияет характер сжимающей нагрузки на коэффициент к{у). Результаты исследований представлены графиком (рис. 2.14).
Следующим этапом проверки предлагаемой методики расчета стало исследование отдельного элемента профиля (рис.2.11, б, в). Он имеет шарнирное закрепление по контуру и сжат по торцам равномерной сжимающей нагрузкой УСЖ (рис. 2.15). Образец исследовали на устойчивость в программе ANSYS и по предлагаемой методике. После этого сравнивали полученные результаты.
При создании модели в программе ANSYS для равномерности распределения сжимающей нагрузки по торцу, тонкостенный профиль помещали между двумя толстыми пластинами и к ним прикладывали сжимающую нагрузку.
Результат исследования в программе ANSYS элемента П-образного профиля изображен на рисунке 2.16, на котором видно что, в первую очередь потеря местной устойчивости наступает у самой широкой пластинки.
Область допустимых нагрузок без учета местной потери стойчивости
Для несущих конструкций из высокотехнологичных тонкостенных трапециевидных профилей расчет ведется по методам допускаемых напряжений. Предлагается инженерная методика учета местной потери устойчивости при расчетах несущей способности конструкций из тонкостенного трапециевидного профиля. Методика реализована в MS Excel, доступна для широкого применения и может служить основой для соответствующих дополнений в нормативные документы в части расчета тонкостенных профилей. Она строится на базе исследований и полученных аналитических зависимостей для расчета критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля. Задача разделяется на три составляющие: 1) определение минимальной толщины профиля (предельной t \ при которой нет необходимости учитывать местную потерю устойчивости в данном типе расчета; 2) определение области допустимых нагрузок тонкостенного трапециевидного профиля, внутри которой обеспечивается несущая способность без местной потери устойчивости; 3) определение области допустимых значений NuM, внутри которой обеспечивается несущая способность при местной потере устойчивости одного или нескольких пластинчатых элементов тонкостенного трапециевидного профиля (с учетом редуцирования сечения профиля).
При этом считается, что методами сопротивления материалов или строительной механики получена зависимость изгибающего момента от продольной силы M=f(N) для рассчитываемой конструкции (рис.2.1). Известны допускаемые напряжения [ т] и предел текучести материала сгт, а также ос таточные напряжения сгості в пластинчатых элементах. В расчетах после местной потери устойчивости применен метод «редуцирования». При потере устойчивости исключается 96% ширины соответствующего пластинчатого элемента.
Вычисление критических напряжений местной потери устойчивости пластинчатых элементов и предельной толщины тонкостенного трапециевидного профиля Тонкостенный трапециевидный профиль разбивается на совокупность пластинчатых элементов как показано на рис.4.1. При этом , угол взаимного расположения соседних элементов не влияет на величину критического напряжения местной
Профиль Н60-845 CURVED потери устойчивости. Допускается замена криволинейных гофров прямолинейными элементами. Критические сжимающие напряжения местной потери устойчивости в смысле Эйлера для отдельного /-го пластинчатого элемента тонкостенного трапециевидного профиля шириной bt при толщине t, модуле упругости материала Е и коэффициенте Пуассона ju в упругой стадии нагружения определяются по формуле
Коэффициенты к{рх,Р2) и k(v) учитывают соответственно влияние жесткости прилегающих пластинчатых элементов и характер распределения сжимающих напряжений по ширине пластинчатого элемента. Значение коэффициентов: к{рх,Р2) определяется по таблице 2, либо вычисляется по формуле
Нормальные напряжения в пластинчатом элементе определяются в центральных осях известной формулой сопротивления материалов. Область допустимых нагрузок без учета местной потери устойчивости (рис. 4.2) определяется выражением и представляет собой четырехугольник, где J - момент инерции сечения периода профиля при изгибе, F- площадь сечения периода профиля, утах и Утіп - координаты крайних точек сечения профиля (рис. 4.1).
Здесь площадь сечения профиля F и момент инерции сечения J вычисляются для периодического элемента длиной L, а продольная сила iV и изгибающий момент Мъ профиле относятся к L.
Несущая способность обеспечивается при попадании кривой фактических нагрузок M=f(N) в область значений допустимых нагрузок за вычетом области местной потери устойчивости (рис.4.3). Рис 4.2. Область допустимых нагрузок без учета местной потери устойчивости
Потеря местной устойчивости одной из полок приводит к ее частичному исключению из восприятия рабочих нагрузок - редуцированию. Степень редуцирования учитывается коэффициентом редуцирования
Несущая способность обеспечивается при попадании кривой фактических нагрузок в область значений допустимых нагрузок за вычетом области нагрузок местной потери устойчивости. При меньших толщинах линия местной потери устойчивости уменьшает область допустимых нагрузок. Местная потеря устойчивости не возможна в случае, если кривая фактических нагрузок размещается в уменьшенной области. При выходе кривой фактических нагрузок за линию минимального значения критического напряжения местной потери устойчивости необходимо перестроить область допустимых нагрузок с учетом редуцирования профиля, которая определяется выражением
Прокатку труб с целью уменьшения их диаметра (редуцирование ) весьма широко применяют почти во всех цехах по производству горячекатаных труб, а также при изготовлении труб сваркой. Это объясняется тем, что получение труб малых размеров обычно связано с ощутимыми потерями производительности трубопрокатных или трубосварочных агрегатов и, следовательно, с удорожанием продукции. Кроме того, в некоторых случаях, например, прокатка труб диам. менее 60-70 мм или труб с весьма большой толщиной стенки и небольшим внутренним отверстием затруднена, так как требует применения оправок слишком малого диаметра.Редуцирование осуществляется после дополнительного нагрева (или подогрева) труб до 850-1100 °С прокаткой их на многоклетевых непрерывных станах (с числом клетей до 24) без применения внутреннего инструмента (оправки). В зависимости от принятой системы работы этот процесс может протекать с увеличением толщины стенки или с ее уменьшением. В первом случае прокатку ведут без натяжения (или с очень незначительным натяжением); а во втором - с большим натяжением. Второй случай, как более прогрессивный, получил распространение в последнее десятилетие, так как позволяет осуществлять значительно большую редукцию, а уменьшение толщины стенки при этом расширяет сортамент прокатываемых труб более экономичными - тонкостенными трубами.
Возможность утонения стенки при редуцировании позволяет получать на основном трубопрокатном агрегате трубы с несколько большей толщиной стенки (иногда на 20-30%). Это заметно повышает производительность агрегата.
Вместе с тем во многих случаях сохранил свое значение и более старый принцип работы - свободное редуцирование без натяжения. В основном это относится к случаям редуцирования сравнительно толстостенных труб, когда даже при больших натяжениях заметно уменьшить толщину стенки становится затруднительным. Следует отметить, что во многих трубопрокатных цехах установлены редукционные станы, которые рассчитаны на свободную прокатку. Эти станы еще длительное время будут эксплуатироваться и, следовательно, редуцирование без натяжения будет широко применяться.
Рассмотрим, как изменяется толщина стенки трубы при свободном редуцировании, когда отсутствуют осевые усилия натяжения или подпора, а схема напряженного состояния характеризуется сжимающими напряжениями. В. JI. Колмогоров и А. 3. Глейберг, исходя из того, что действительное изменение стенки отвечает минимальной работе деформации, и используя принцип возможных перемещений, дали теоретическое определение изменения толщины стенки при редуцировании. При этом было сделано допущение, что неравномерность* деформации существенно не влияет на изменение толщины стенки, а силы внешнего трения не учиты вали, так как они значительно меньше внутренних сопротивлений. На 89 показаны кривые изменения толщины стенки от начальной SQ до заданной S для малоупрочняющихся сталей в зависимости от степени редуцирования от исходного диаметра DT0 ДО конечного DT (отношение DT/DTO) и геометрического фактора- тонкостейности труб (отношение S0/DT0).
При малых степенях редуцирования сопротивление продольному истечению оказывается больше сопротивления истечению внутрь, что вызывает утолщение стенки. С ростом величины деформации интенсивность утолщения стенки возрастает. Однако вместе с тем возрастает и сопротивление истечению внутрь трубы. При определенной величине редуцирования утолщение стенки достигает своего максимума и последующее увеличение степени редуцирования приводит к более интенсивному росту сопротивления истечению внутрь и в результате утолщение начинает уменьшаться.
Между тем обычно известна только толщина стенки готовой проредуци- рованной трубы и при использовании этих кривых приходится задаваться искомым значением, т. е. пользоваться методом последовательного приближения.
Характер изменения толщины стенки резко изменяется, если процесс осуществлять с натяжением. Как уже указывалось, наличие и величина осевых напряжений характеризуются скоростными условиями деформации на непрерывном стане, показателем которых является коэффициент кинематического натяжения.
При редуцировании с натяжением условия деформации концов труб отличаются от условий деформации середины трубы, когда процесс прокатки уже стабилизировался. В процессе заполнения стана или при выходе трубы из стана концы трубы воспринимают лишь часть натяжения, а прокатка, например в первой клети до момента захода трубы во вторую клеть, вообще проходит без натяжения. В результате концы труб всегда утолщаются, что является недостатком процесса редуцирования с натяжением.
Величина обрези может быть несколько меньше длины утолщенного конца из-за использования плюсового допуска на толщину стенки. Наличие утолщенных концов в значительной мере влияет на экономичность процесса редуцирования, так как эти концы подлежат обрезке и являются невозвратимыми издержками производства. В связи с этим процесс прокатки с натяжением применяют только в случае получения после редуцирования труб длиной более 40-50 м, когда относительные потери в обрезь снижаются до уровня, характерного для любого другого способа прокатки.
Приведенные методы расчета изменения толщины стеьжи позволяют в конечном итоге определять коэффициент вытяжки как для случая свободного редуцирования, так и для случая прокатки с натяжением.
При обжатии, равном 8-10%, и при коэффициенте пластического натяжения 0,7-0,75 величина пробуксовки характеризуется коэффициентом ix = 0,83-0,88.
Из рассмотрения формул (166 и 167) нетрудно заметить, как точно должны соблюдаться скоростные параметры в каждой клети, чтобы прокатка протекала по расчетному режиму.
Групповой привод валков в редукционных станах старой конструкции имеет постоянное соотношение числа оборотов валков во всех клетях, которые только в частном случае для труб одного размера могут соответствовать режиму свободной прокатки. Редуцирование труб всех других размеров будет происходить с другими вытяжками, следовательно, свободный режим прокатки не будет выдерживаться. Практически в таких станах всегда процесс протекает с небольшим натяжением. Индивидуальный привод валков каждой клети с тонкой регулировкой их скорости позволяет создавать разные режимы натяжения, в том числе и режим свободной прокатки.
Поскольку переднее и заднее натяжения создают моменты, направленные в разные стороны, то общий момент вращения валков в каждой клети может возрастать или уменьшаться в зависимости от соотношения усилий переднего и заднего натяжения.
В этом отношении условия, в которых находятся начальные и последние 2-3 клети, неодинаковы. Если момент прокатки в первых клетях по мере прохождения трубы в последующих клетях уменьшается за счет натяжения, то момент прокатки в последних клетях, наоборот, должен быть выше, так как эти клети испытывают в основном заднее натяжение. И лишь в средних клетях в связи с близкими значениями переднего и заднего натяжения момент прокатки при установившемся режиме мало отличается от расчетного. При прочностном расчете узлов привода стана, работающего с натяжением, необходимо иметь в виду, что момент прокатки кратковременно, но весьма резко возрастает в период захвата трубы валками, что объясняется большой разницей в скоростях трубы и валков. Возникающая при этом пиковая нагрузка, превышающая установившуюся иногда в несколько раз (особенно при редуцировании с большим натяжением), может послужить причиной поломок механизма привода. Поэтому при расчетах эту пиковую нагрузку учитывают введением соответствующего коэффициента, принимаемого равным 2-3.