Kompleksni integrali

Ta članek zaključuje temo nedoločenih integralov in vključuje integrale, ki se mi zdijo precej zapleteni. Lekcija je nastala na večkratno prošnjo obiskovalcev, ki so izrazili željo, da bi se na strani analizirali težji primeri.

Predpostavlja se, da je bralec tega besedila dobro pripravljen in zna uporabiti osnovne tehnike integracije. Tebani in ljudje, ki niso preveč prepričani v integrale, naj se obrnejo na prvo lekcijo - Nedoločen integral. Primeri rešitev, kjer lahko temo obvladate skoraj iz nič. Izkušenejši študenti se lahko seznanijo s tehnikami in metodami integracije, ki jih v mojih člankih še nisem srečal.

Katere integrale bomo upoštevali?

Najprej bomo obravnavali integrale s koreni, za rešitev katerih bomo zaporedno uporabljali variabilna zamenjava in integracija po delih. To pomeni, da sta v enem primeru dve tehniki združeni hkrati. In še več.

Potem se bomo seznanili z zanimivimi in izvirnimi metoda redukcije integrala nase. Kar nekaj integralov je rešenih na ta način.

Tretja številka programa bodo integrali kompleksnih ulomkov, ki so v prejšnjih člankih preleteli blagajno.

Četrtič, analizirani bodo dodatni integrali iz trigonometričnih funkcij. Zlasti obstajajo metode, ki se izogibajo dolgotrajni univerzalni trigonometrični zamenjavi.

(2) V funkciji integrand delimo števec z imenovalcem člen za členom.

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala. V zadnjem integral takoj funkcijo postavimo pod diferencialni znak.

(4) Vzamemo preostale integrale. Upoštevajte, da lahko v logaritmu namesto modula uporabite oklepaje, saj .

(5) Izvedemo obratno zamenjavo, pri čemer izrazimo »te« iz neposredne zamenjave:

Mazohistični učenci lahko diferencirajo odgovor in dobijo izvirni integrand, kot sem pravkar naredil. Ne, ne, preveril sem v pravem smislu =)

Kot lahko vidite, smo morali med reševanjem uporabiti celo več kot dve metodi reševanja, zato za obravnavo takšnih integralov potrebujete samozavestno integracijsko znanje in kar nekaj izkušenj.

V praksi je seveda pogostejši kvadratni koren, tukaj so trije primeri za neodvisna odločitev:

Primer 2

Poiščite nedoločen integral

Primer 3

Poiščite nedoločen integral

Primer 4

Poiščite nedoločen integral

Ti primeri so iste vrste, zato bo popolna rešitev na koncu članka samo za primer 2; primeri 3-4 imajo enake odgovore. Katero zamenjavo uporabiti na začetku odločitev, mislim, da je očitno. Zakaj sem izbral primere iste vrste? Pogosto najdemo v njihovi vlogi. Pogosteje morda samo nekaj podobnega .

Vendar ne vedno, ko je pod arktangensom, sinusom, kosinusom, eksponentom in drugimi funkcijami koren linearne funkcije, morate uporabiti več metod hkrati. V številnih primerih je mogoče "enostavno izstopiti", to je, da takoj po zamenjavi dobimo preprost integral, ki ga je mogoče enostavno vzeti. Najlažja od zgoraj predlaganih nalog je primer 4, v katerem po zamenjavi dobimo relativno preprost integral.

Z redukcijo integrala nase

Duhovita in lepa metoda. Oglejmo si klasike žanra:

Primer 5

Poiščite nedoločen integral

Pod korenom je kvadratni binom in poskušanje integracije tega primera lahko čajniku povzroča ure in ure glavobola. Tak integral se vzame po delih in reducira nase. Načeloma ni težko. Če veš kako.

Označimo obravnavani integral z latinično črko in začnemo rešitev:

Integrirajmo po delih:

(1) Pripravite funkcijo integranda za člen za členom.

(2) Funkcijo integrand delimo člen za členom. Morda ni vsem jasno, vendar bom podrobneje opisal:

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala.

(4) Vzemite zadnji integral ("dolg" logaritem).

Zdaj pa poglejmo sam začetek rešitve:

In na koncu:

Kaj se je zgodilo? Zaradi naših manipulacij se je integral zmanjšal sam nase!

Izenačimo začetek in konec:

Premaknite se na levo stran s spremembo predznaka:

In oba premaknemo na desno stran. Kot rezultat:

Konstanto bi, strogo gledano, morali dodati že prej, vendar sem jo dodal na koncu. Toplo priporočam, da preberete, kakšna je strogost tukaj:

Opomba: Natančneje, končna faza rešitve izgleda takole:

Torej:

Konstanto je mogoče preoblikovati z . Zakaj se lahko preoblikuje? Ker ga še vedno sprejema kaj vrednosti in v tem smislu ni razlike med konstantami in.
Kot rezultat:

Podoben trik z nenehnim ponavljanjem se pogosto uporablja v diferencialne enačbe. In tam bom strog. In tukaj dopuščam takšno svobodo samo zato, da vas ne bi zmedel z nepotrebnimi stvarmi in da bi pozornost usmeril ravno na sam način integracije.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral

Še en tipičen integral za neodvisno rešitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Z odgovorom v prejšnjem primeru bo razlika!

Če je pod kvadratnim korenom kvadratni trinom, potem se rešitev v vsakem primeru zmanjša na dva analizirana primera.

Na primer, upoštevajte integral . Vse, kar morate storiti, je najprej izberite celoten kvadrat:
.
Nato se izvede linearna zamenjava, ki poteka "brez posledic":
, kar ima za posledico integral . Nekaj ​​znanega, kajne?

Ali ta primer s kvadratnim binomom:
Izberite celoten kvadrat:
In po linearni zamenjavi dobimo integral, ki ga prav tako rešujemo z že obravnavanim algoritmom.

Poglejmo si še dva tipična primera reduciranja integrala nase:
– integral eksponenta, pomnoženega s sinusom;
– integral eksponenta, pomnoženega s kosinusom.

V navedene integrale po delih boste morali integrirati dvakrat:

Primer 7

Poiščite nedoločen integral

Integrand je eksponent, pomnožen s sinusom.

Dvakrat integriramo po delih in reduciramo integral nase:

Zaradi dvojne integracije po delih je bil integral reduciran sam nase. Izenačimo začetek in konec rešitve:

S spremembo predznaka ga premaknemo na levo stran in izrazimo svoj integral:

pripravljena Hkrati je priporočljivo česati desno stran, tj. vzemite eksponent iz oklepajev, sinus in kosinus pa postavite v oklepaje v »lepem« vrstnem redu.

Zdaj pa se vrnimo na začetek primera oziroma natančneje na integracijo po delih:

Eksponent smo označili kot. Postavlja se vprašanje: ali je treba eksponent vedno označiti z ? Ni potrebno. Pravzaprav v obravnavanem integralu v osnovi ni važno, kaj mislimo z , bi lahko šli drugače:

Zakaj je to mogoče? Ker se eksponent spremeni vase (tako pri diferenciaciji kot pri integraciji), se sinus in kosinus medsebojno spremenita drug v drugega (spet tako pri diferenciaciji kot pri integraciji).

To pomeni, da lahko označimo tudi trigonometrično funkcijo. Toda v obravnavanem primeru je to manj racionalno, saj se bodo pojavili ulomki. Če želite, lahko ta primer poskusite rešiti z drugo metodo, odgovori se morajo ujemati.

Primer 8

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Preden se odločite, razmislite, kaj je v tem primeru ugodneje označiti kot , eksponentno ali trigonometrično funkcijo? Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In seveda ne pozabite, da je večino odgovorov v tej lekciji precej enostavno preveriti z razlikovanjem!

Obravnavani primeri niso bili najbolj zapleteni. V praksi so pogostejši integrali, kjer je konstanta tako v eksponentu kot v argumentu trigonometrične funkcije, na primer: . Marsikdo se bo zmedel pri takem integralu in tudi sam sem pogosto zmeden. Dejstvo je, da obstaja velika verjetnost, da se v raztopini pojavijo ulomki, in zelo enostavno je nekaj izgubiti zaradi neprevidnosti. Poleg tega obstaja velika verjetnost napake v znakih; upoštevajte, da ima eksponent znak minus, kar predstavlja dodatne težave.

Na končni stopnji je rezultat pogosto nekaj takega:

Tudi na koncu rešitve morate biti zelo previdni in pravilno razumeti ulomke:

Integriranje kompleksnih ulomkov

Počasi se približujemo ekvatorju lekcije in začnemo obravnavati integrale ulomkov. Še enkrat, niso vsi zelo zapleteni, le zato, ker so bili primeri iz enega ali drugega razloga v drugih člankih malo »izven teme«.

Nadaljevanje teme korenin

Primer 9

Poiščite nedoločen integral

V imenovalcu pod korenom je kvadratni trinom plus "pridatek" v obliki "X" zunaj korena. Integral te vrste je mogoče rešiti s standardno zamenjavo.

Odločamo se:

Zamenjava tukaj je preprosta:

Poglejmo življenje po zamenjavi:

(1) Po zamenjavi člene pod korenom reduciramo na skupni imenovalec.
(2) Poberemo ga izpod korenine.
(3) Števec in imenovalec se zmanjšata za . Hkrati sem pod korenom preuredil izraze v priročnem vrstnem redu. Z nekaj izkušnjami lahko korake (1), (2) preskočite tako, da komentirana dejanja izvedete ustno.
(4) Nastali integral, kot se spomnite iz lekcije Integracija nekaterih ulomkov, se odloča metoda popolne kvadratne ekstrakcije. Izberite celoten kvadrat.
(5) Z integracijo dobimo navaden “dolg” logaritem.
(6) Izvedemo obratno zamenjavo. Če na začetku , potem nazaj: .
(7) Končno dejanje je namenjeno poravnavi rezultata: pod korenom spet spravimo izraze na skupni imenovalec in jih vzamemo izpod korena.

Primer 10

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tu je edinemu "X" dodana konstanta in zamenjava je skoraj enaka:

Edina stvar, ki jo morate narediti dodatno je, da izrazite "x" iz zamenjave, ki se izvaja:

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Včasih je lahko v takem integralu pod korenom kvadratni binom, to ne spremeni metode rešitve, še bolj enostavna bo. Občutite razliko:

Primer 11

Poiščite nedoločen integral

Primer 12

Poiščite nedoločen integral

Kratke rešitve in odgovori na koncu lekcije. Opozoriti je treba, da je primer 11 natančen binomski integral, katerega način reševanja smo obravnavali v razredu Integrali iracionalnih funkcij.

Integral nerazgradljivega polinoma 2. stopnje na potenco

(polinom v imenovalcu)

Bolj redka vrsta integrala, vendar se kljub temu srečuje v praktičnih primerih.

Primer 13

Poiščite nedoločen integral

A vrnimo se k primeru s srečno številko 13 (odkrito povedano, nisem prav uganil). Tudi ta integral je eden tistih, ki so lahko precej frustrirajoči, če ne veste, kako rešiti.

Rešitev se začne z umetno preobrazbo:

Mislim, da vsi že razumejo, kako razdeliti števec na imenovalec po izrazih.

Nastali integral se vzame v delih:

Za integral oblike ( – naravno število) izpeljemo ponavljajoče se formula zmanjšanja:
, Kje – integral stopnje nižje.

Preverimo veljavnost te formule za rešeni integral.
V tem primeru: , , uporabimo formulo:

Kot vidite, so odgovori enaki.

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Raztopina vzorca uporablja zgornjo formulo dvakrat zaporedoma.

Če je pod diplomo nedeljivo kvadratni trinom, potem se rešitev zmanjša na binom z izolacijo popolnega kvadrata, na primer:

Kaj pa, če je v števcu dodaten polinom? V tem primeru se uporabi metoda nedoločenih koeficientov, funkcija integrand pa se razširi v vsoto ulomkov. Toda v moji praksi je tak primer nikoli srečal, zato sem v članku spregledal ta primer Integrali ulomkov-racionalnih funkcij, bom zdaj preskočil. Če še vedno naletite na tak integral, poglejte učbenik - tam je vse preprosto. Mislim, da ni priporočljivo vključiti gradiva (tudi preprostega), katerega verjetnost naletijo na nič.

Integriranje kompleksnih trigonometričnih funkcij

Pridevnik "zapleten" je za večino primerov spet v veliki meri pogojen. Začnimo s tangentami in kotangensi pri velikih potencah. Z vidika uporabljenih metod reševanja sta tangens in kotangens skoraj ista stvar, zato bom več govoril o tangensu, kar pomeni, da prikazana metoda za reševanje integrala velja tudi za kotangens.

V zgornji lekciji smo si ogledali univerzalna trigonometrična zamenjava za reševanje določene vrste integralov trigonometričnih funkcij. Pomanjkljivost univerzalne trigonometrične substitucije je, da njena uporaba pogosto povzroči okorne integrale s težkimi izračuni. In v nekaterih primerih se je mogoče izogniti univerzalni trigonometrični zamenjavi!

Oglejmo si še en kanoničen primer, integral enega deljeno s sinusom:

Primer 17

Poiščite nedoločen integral

Tukaj lahko uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo in dobite odgovor, vendar obstaja bolj racionalen način. Zagotovil bom celotno rešitev s komentarji za vsak korak:

(1) Za sinus dvojnega kota uporabljamo trigonometrično formulo.
(2) Izvedemo umetno transformacijo: Delimo v imenovalcu in pomnožimo z .
(3) Z znano formulo v imenovalcu pretvorimo ulomek v tangento.
(4) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(5) Vzemite integral.

Nekaj ​​preprostih primerov, ki jih lahko rešite sami:

Primer 18

Poiščite nedoločen integral

Opomba: prvi korak bi morala biti uporaba formule za zmanjšanje in previdno izvajajte dejanja, podobna prejšnjemu primeru.

Primer 19

Poiščite nedoločen integral

No, to je zelo preprost primer.

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Mislim, da zdaj nihče ne bo imel težav z integrali:
in tako naprej.

Kakšna je ideja metode? Zamisel je, da s transformacijami in trigonometričnimi formulami organiziramo samo tangente in tangentni odvod v integrand. to je govorimo o glede zamenjave: . V primerih 17-19 smo dejansko uporabili to zamenjavo, vendar so bili integrali tako preprosti, da smo opravili z enakovrednim dejanjem - funkcijo podstavili pod diferencialni predznak.

Podobno sklepanje, kot sem že omenil, lahko izvedemo za kotangens.

Obstaja tudi formalni predpogoj za uporabo zgornje zamenjave:

Vsota potenc kosinusa in sinusa je negativno celo SODNO število, Na primer:

za integral – negativno celo SODO število.

! Opomba : če integrand vsebuje SAMO sinus ali SAMO kosinus, se tudi integral vzame za negativno liho stopnjo (najenostavnejši primeri so v primerih št. 17, 18).

Oglejmo si nekaj bolj smiselnih nalog, ki temeljijo na tem pravilu:

Primer 20

Poiščite nedoločen integral

Vsota potenc sinusa in kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativno celo SODNO število, kar pomeni, da lahko integral reduciramo na tangente in njen odvod:

(1) Preoblikujemo imenovalec.
(2) Z dobro znano formulo dobimo .
(3) Preoblikujemo imenovalec.
(4) Uporabljamo formulo .
(5) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(6) Izvajamo zamenjavo. Bolj izkušeni učenci morda ne bodo izvedli zamenjave, vendar je vseeno bolje, da tangento zamenjate z eno črko - manj je nevarnosti, da bi se zmedli.

Primer 21

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Drži se, prvenstveni krogi se bodo začeli =)

Pogosto integrand vsebuje "mešanico":

Primer 22

Poiščite nedoločen integral

Ta integral na začetku vsebuje tangento, ki takoj pripelje do že znane misli:

Umetno preobrazbo bom pustil na samem začetku in preostale korake brez komentarja, saj je bilo vse že obravnavano zgoraj.

Nekaj ​​ustvarjalnih primerov za lastno rešitev:

Primer 23

Poiščite nedoločen integral

Primer 24

Poiščite nedoločen integral

Da, v njih seveda lahko znižate moči sinusa in kosinusa ter uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo, vendar bo rešitev veliko učinkovitejša in krajša, če bo izvedena skozi tangente. Celotna rešitev in odgovori na koncu lekcije

Ali ste iskali x koren iz x protiizpeljanke? . Podrobna rešitev z opisom in razlagami vam bo pomagala razumeti še tako zapleten problem in integral iz korena x ni izjema. Pomagali vam bomo pri pripravi na domače naloge, teste, olimpijade, pa tudi na vpis na univerzo. In ne glede na primer, ne glede na to, katero matematično poizvedbo vnesete, že imamo rešitev. Na primer, "x je koren od x je antiderivacija."

Uporaba različnih matematičnih problemov, kalkulatorjev, enačb in funkcij je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Matematiko je človek uporabljal že od pradavnine in od takrat se je le še povečala. Vendar zdaj znanost ne miruje in lahko uživamo v sadovih njene dejavnosti, kot je na primer spletni kalkulator, ki lahko rešuje probleme, kot so x koren iz x protiodvod, integral korena x, integral korena x, kvadrat integralni koren, korenski integral iz 1 x 2, korenski integral iz x, korenski integral iz x 2 1, korenski integral iz x, korenski integral, korenski integral iz x, kvadratni korenski integral, korenski integral, korenski integral iz x, integrali s koreni , koren iz x integral, koren iz x protiizpeljanka, koren iz x integral, koren iz x protiizpeljanka, protiizpeljanka 3 koren iz x, protiizpeljanka x koren iz x, protiizpeljanka iz korena x, protiizpeljanka iz korena x, protiizpeljanka iz x, protiizpeljava korena x, praizpeljava korena, praizpeljava korena x, praizpeljava korena x, praizpeljava korena, praizpeljava korena x, praizpeljava x korena x. Na tej strani boste našli kalkulator, ki vam bo pomagal rešiti katero koli vprašanje, vključno s korenom x iz x protiizpeljave. (na primer integral korena x).

Kje lahko rešite kakršen koli problem v matematiki, kot tudi x koren iz x antiderivative Online?

Na naši spletni strani lahko rešite problem x koren iz x antiizpeljave. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletni problem katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite, kako pravilno vnesti nalogo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v klepetu v spodnjem levem kotu strani kalkulatorja.

Definicija antiderivacijske funkcije

• funkcija y=F(x) imenujemo antiodvod funkcije y=f(x) v določenem intervalu X,če za vse X ∈X enakost velja: F′(x) = f(x)

Lahko se bere na dva načina:

1. f odvod funkcije F
2. F antiderivacija funkcije f

Lastnost antiizpeljank

• če F(x)- antiderivacija funkcije f(x) na danem intervalu ima funkcija f(x) neskončno veliko protiodvodov in vse te protiodvode lahko zapišemo v obliki F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafi vseh antiodvodov dane funkcije f(x) so pridobljeni iz grafa katere koli antiizpeljave z vzporednimi translacijami vzdolž osi O pri.

Pravila za izračun antiizpeljank

1. Protiodvod vsote je enak vsoti protiodvodov. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), in G(x) je antiizpeljava za g(x), To F(x) + G(x)- protiizpeljanka za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), In k- konstantno, torej k·F(x)- protiizpeljanka za k f(x).
3. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), In k, b- konstantno in k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- protiizpeljanka za f(kx + b).

Ne pozabite!

Katera koli funkcija F(x) = x 2 + C , kjer je C poljubna konstanta in samo taka funkcija je antiderivacija za funkcijo f(x) = 2x.

• Na primer:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Ker F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, Ker F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Povezava med grafoma funkcije in njenim protiodvodom:

1. Če graf funkcije f(x)>0 na intervalu, nato pa graf njegovega antiodvoda F(x) v tem intervalu narašča.
2. Če graf funkcije f(x) na intervalu, nato graf njegovega antiodvoda F(x) se v tem intervalu zmanjša.
3. če f(x)=0, nato graf njegove antiizpeljave F(x) na tej točki se spremeni iz naraščajočega v padajoče (ali obratno).

Za označevanje antiizpeljave se uporablja predznak nedoločenega integrala, to je integral brez navedbe meja integracije.

Nedoločen integral

Opredelitev:

• Nedoločeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, to je množica vseh antiodvodov dane funkcije f(x). Nedoločen integral je označen takole: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- imenovana funkcija integranda;
• f(x) dx- imenovan integrand;
• x- imenovana spremenljivka integracije;
• F(x)- eden od antiodvodov funkcije f(x);
• Z- poljubna konstanta.

Lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda lahko vzamemo iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral vsote (razlike) funkcij enaka vsoti(razlike) integralov teh funkcij: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. če k, b so konstante in k ≠ 0, potem \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela protiodvodov in nedoločenih integralov

funkcija f(x)	Protiizpeljanka F(x) + C	Nedoločeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\ne =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac (1) (x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( l na ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac (1) (\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac (1) (\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (x))	F(x) =2\sqrt (x) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac (1) (1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Newton-Leibnizova formula

Pustiti f(x) to funkcijo, F njen poljubni antiderivat.

\int_ (a) ^ (b) f(x) dx =F(x)|_ (a) ^ (b)= F(b) - F(a)

Kje F(x)- protiizpeljanka za f(x)

To je integral funkcije f(x) na intervalu je enaka razliki protiodvodov v točkah b in a.

Območje ukrivljenega trapeza

Krivočrtni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ki je nenegativna in zvezna na intervalu f, Ox os in premice x = a in x = b.

Območje ukrivljenega trapeza najdemo z uporabo Newton-Leibnizove formule:

S= \int_ (a) ^ (b) f(x) dx