Med izvajanjem trenutnega programa računalnika znotraj stroja in v okolju, povezanem z njim (na primer v tehnološkem procesu, ki ga nadzoruje računalnik), se lahko pojavijo dogodki, ki zahtevajo takojšen odziv stroja nanje.

Reakcija je, da stroj prekine obdelavo trenutnega programa in nadaljuje z izvajanjem drugega programa, posebej zasnovanega za ta dogodek. Po zaključku tega programa se računalnik vrne k izvajanju prekinjenega programa.

Zadevni proces se imenuje prekinitev programa. Bistveno pomembno je, da trenutki nastanka dogodkov, ki zahtevajo prekinitev programa, niso znani vnaprej in jih zato pri programiranju ni mogoče upoštevati.

Vsak dogodek, ki zahteva prekinitev, spremlja signal, ki obvesti računalnik - zahteve za prekinitev. Program, ki ga zahteva zahteva za prekinitev, se imenuje prekinitveni program, v nasprotju s prekinjenim programom, ki ga je stroj izvajal, preden je prišlo do zahteve.

Sposobnost prekinitve programov je pomembna arhitekturna lastnost računalnika, ki omogoča učinkovito uporabo zmogljivosti procesorja v prisotnosti več procesov, ki tečejo vzporedno v času in zahtevajo nadzor in vzdrževanje s strani procesorja v poljubnih časih. Najprej se to nanaša na organizacijo vzporednega delovanja procesorja in perifernih naprav stroja, pa tudi na uporabo računalnika za nadzor tehnoloških procesov v realnem času.

Da bi lahko računalnik brez velikega napora programerja izvajal programske prekinitve z veliko hitrostjo, mora imeti stroj ustrezno strojno in programsko opremo, katere celota se imenuje sistem programskih prekinitev.

Glavne funkcije prekinitvenega sistema so:

shranjevanje stanja prekinjenega programa in izvedba prehoda na prekinjen program

vzpostavitev stanja prekinjenega programa in vrnitev vanj.

Vektor prekinitve je vektor "začetnega stanja prekinitvenega programa". Prekinitveni vektor vsebuje vse potrebne informacije za skok na prekinitveni program, vključno z njegovim začetnim naslovom. Vsaka prekinitvena zahteva (številka) ima svoj prekinitveni vektor, ki lahko sproži izvajanje ustreznega prekinitvenega programa. Vektorji prekinitev se nahajajo v posebej dodeljenih fiksnih pomnilniških celicah - tabeli vektorjev prekinitev.

Glavno mesto v postopku preklopa na prekinitveni program zavzema postopek prenosa iz ustreznega registra (registrov) procesorja v pomnilnik (zlasti v sklad), da se shrani trenutni vektor stanja prekinjenega programa ( tako da se lahko vrnete k njegovemu izvajanju) in nalaganje v register (registre) procesorja prekinitvenega vektorja prekinitvenega programa, na katerega preide nadzor nad procesorjem.

Klasifikacija prekinitev

Zahteve za prekinitev se lahko pojavijo v samem računalniku in v njegovem zunanjem okolju. Prve vključujejo na primer zahteve, ko se v računalniku pojavijo takšni dogodki, kot so napake v delovanju njegove opreme, prepolnitev bitne mreže, poskus deljenja z 0, izhod iz območja pomnilnika, nastavljenega za dani program. , zahteva za operacijo V/I s strani periferne naprave, dokončanje operacije V/I s strani periferne naprave ali pojav izjeme med to operacijo itd. Čeprav nekatere od teh dogodkov ustvari program sam, trenutkov njihovega nastanka praviloma ni mogoče predvideti. Zahteve v zunanjem okolju lahko izvirajo iz drugih računalnikov, iz zasilnih in nekaterih drugih procesnih senzorjev itd.

Družina mikroprocesorjev Intel 80x86 podpira 256 stopenj prioritetnih prekinitev, ki jih sprožijo tri vrste dogodkov:

notranje prekinitve strojne opreme

zunanje strojne prekinitve

programske prekinitve

Notranje strojne prekinitve, včasih imenovane tudi napake, generirajo določeni dogodki, ki se zgodijo med izvajanjem programa, kot je poskus deljenja z 0. Dodeljevanje določenih številk prekinitve takšnim dogodkom je vgrajeno v procesor in ga ni mogoče spremeniti.

Prekinitve zunanje strojne opreme sprožijo krmilniki periferne opreme ali koprocesorji (na primer 8087/80287). Viri prekinitev so povezani bodisi s prekinitvenim zatičem, ki ga ni mogoče prikriti (NMI) procesorja, niti s prekinitvenim zatičem, ki ga je mogoče maskirati (INTR). Linija NMI je običajno rezervirana za prekinitve, ki jih povzročijo katastrofalni dogodki, kot so napake paritete pomnilnika ali izpad električne energije.

Programske prekinitve. Vsak program lahko sproži sinhrono programsko prekinitev z izvajanjem ukaza int. MS-DOS uporablja prekinitve od 20H do 3FH za interakcijo s svojimi moduli in aplikacijskimi programi (na primer, do upravljalnika funkcij MS-DOS dostopate tako, da izvedete ukaz jaznt 21h). Programi BIOS-a, shranjeni v ROM-u in aplikacijah IBM PC, uporabljajo druge prekinitve, višje ali nižje. Ta porazdelitev prekinitvenih številk je pogojna in na noben način ni določena v strojni opremi.

Vektorska tabela prekinitev

Za povezavo naslova obdelovalnika prekinitev s številko prekinitve se uporablja tabela vektorjev prekinitev, ki zavzame prvi kilobajt RAM-a. Ta tabela je v območju naslovov od 0000:0000 do 0000:03FFh in je sestavljena iz 256 vnosov - oddaljenih naslovov obdelovalcev prekinitev.

Vnosi v tabeli prekinitvenih vektorjev se imenujejo prekinitveni vektorji. Prva beseda vnosa tabele vsebuje komponento odmika, druga beseda pa segmentno komponento naslova upravljalnika prekinitev.

Prekinitveni vektor 0 je na naslovu 0000:0000, prekinitveni vektor 1 je na 0000:0004 itd. Na splošno se naslov prekinitvenega vektorja poišče tako, da se prekinitveno število pomnoži s 4.

Inicializacijo tabele delno izvede osnovni vhodno/izhodni sistem BIOS-a po testiranju strojne opreme in preden se operacijski sistem začne zagnati, delno pa ob zagonu MS-DOS. Operacijski sistem MS-DOS lahko spremeni nekatere vektorje prekinitev, ki jih nastavi BIOS.

Vektorska tabela prekinitev

številka	Opis
	napaka delitve. Pokliče se samodejno po izvedbi ukazov DIV ali IDIV, če pride do prelivanja zaradi deljenja (na primer pri deljenju z 0). Običajno, ko se ta prekinitev obravnava, MS-DOS prikaže sporočilo o napaki in ustavi izvajanje programa. V tem primeru za procesor i8086 povratni naslov kaže na ukaz, ki sledi ukazu za deljenje, za procesor i80286 in novejše modele pa na prvi bajt ukaza, ki je povzročil prekinitev.
	Prekinitev stopenjskega načina. Izda se po izvedbi vsakega strojnega ukaza, če je bit sledi koraka TF nastavljen v besedi zastavic. Uporablja se za odpravljanje napak v programih. Ta prekinitev se ne ustvari po prenosu podatkov v segmentne registre z ukazi MOV in POP.
	NMI strojne opreme. To prekinitev je mogoče različno uporabiti na različnih strojih. Običajno se generira, ko pride do napake paritete v RAM-u in ko se od koprocesorja zahteva prekinitev.
	Prekinitev sledenja. Ustvari se pri izvajanju enobajtnega strojnega ukaza s kodo CCh in ga običajno uporabljajo razhroščevalniki za nastavitev prekinitvene točke
	Preliv. Generirano s strojnim ukazom INTO, če je nastavljena zastavica prelivanja OF. Če zastavica ni nastavljena, se ukaz INTO izvede kot NOP. Ta prekinitev se uporablja za obravnavo napak pri izvajanju aritmetičnih operacij.
	Natisnite kopijo zaslona. Sproži se, ko uporabnik pritisne tipko V programih MS-DOS se običajno uporablja za tiskanje slike zaslona. Za procesor i80286 in novejše se ustvari, ko se izvede strojni ukaz BOUND, če je vrednost, ki se preverja, zunaj podanega obsega
	Nedefinirana operacijska koda ali dolžina navodil je večja od 10 bajtov
	Poseben primer brez aritmetičnega koprocesorja
	IRQ0 - prekinitev intervalnega časovnika, se pojavi 18,2-krat na sekundo
	IRQ1 - prekinitev tipkovnice. Oddaja se, ko uporabnik pritisne in spusti tipke. Uporablja se za branje podatkov s tipkovnice
	IRQ2 - uporablja se za kaskadne prekinitve strojne opreme
	IRQ3 - prekinitev asinhronih vrat COM2
	IRQ4 - prekinitev asinhronih vrat COM1
	IRQ5 - prekinitev krmilnika trdega diska (samo računalniki IBM PC/XT)
	IRQ6 - prekinitev ustvari krmilnik diskete po zaključku V / I operacije
	IRQ7 - prekinitev vzporednega adapterja. Ustvari se, ko je tiskalnik, povezan z adapterjem, pripravljen za izvedbo naslednje operacije. Ponavadi se ne uporablja
	Vzdrževanje video adapterja
	Določanje konfiguracije naprav v sistemu
	Določanje velikosti RAM-a
	Vzdrževanje diskovnega sistema
	Delo z asinhronim serijskim adapterjem
	Napredna storitev
	Vzdrževanje tipkovnice
	Vzdrževanje tiskalnika
	Zaženite BASIC v ROM-u, če je na voljo
	Storitev ur
	Obravnavalec prekinitev, ki se pojavi, ko uporabnik pritisne kombinacijo tipk
	Programska prekinitev, ki jo 18,2-krat na sekundo kliče upravljalnik prekinitev strojne opreme časovnika
	Naslov video tabele za krmilnik video adapterja 6845
	Kazalec na tabelo parametrov diskete
	Kazalec na grafično tabelo za znake ASCII 128-255
	Uporablja ga MS-DOS ali rezervirano za MS-DOS
	Prekinitve rezervirane za uporabniške programe
	Se ne uporablja
	IRQ8 - prekinitev ure realnega časa
	IRQ9 - prekinitev krmilnika EGA
	IRQ10 - rezervirano
	IRQ11 - rezervirano
	IRQ12 - rezervirano
	IRQ13 - prekinitev aritmetičnega koprocesorja
	IRQ14 - prekinitev krmilnika trdega diska
	IRQ15 - rezervirano
	Se ne uporablja
	Rezervirano za BASIC
	Uporablja ga tolmač BASIC
	Se ne uporablja

Prekinitve, označene kot IRQ0 - IRQ15, so zunanje prekinitve strojne opreme.

Storitveni nalog za prekinitev

CPE, ko zazna prekinitveni signal, potisne statusno besedo programa (ki določa različne zastavice CPU), register programskega segmenta (CS) in kazalec ukazov (IP) na strojni sklad in onemogoči prekinitveni sistem. CPE nato uporabi 8-bitno številko (številko prekinitve), ki jo na sistemskem vodilu nastavi prekinitveni proces, da pridobi naslov upravljalnika iz vektorske tabele in nadaljuje z izvajanjem na tem naslovu.

Če je virov prekinitvenih zahtev več, je treba vzpostaviti določen red (disciplino) pri servisiranju prihajajočih zahtev. Z drugimi besedami, med zahtevami (in ustreznimi prekinitvenimi programi) je treba vzpostaviti prednostna razmerja, pri čemer se določi, katera od več vhodnih zahtev se najprej obdela, in ugotovi, ali ima ta zahteva (prekinitveni program) pravico ali ne prekiniti tega ali onega program. Če najvišja prioriteta izpostavljenih prekinitvenih zahtev ne presega prioritetne ravni programa, ki ga izvaja procesor, se prekinitvena zahteva prezre ali pa se njena storitev odloži, dokler se izvajanje trenutnega programa ne zaključi. Vsaka prekinitev ustreza določeni številki, ki določa prioriteto. Zahteva z nižjo številko se šteje za višjo prioriteto, tj. Zahteva za prekinitev številka 0 ima najvišjo prioriteto, zahteva za prekinitev številka 255 pa najnižjo.

Stanje sistema v trenutku prenosa nadzora na upravljalnik prekinitev je popolnoma neodvisno od tega, ali je bila prekinitev sprožena. zunanjo napravo ali je bil rezultat programa, ki je izvedel ukaz INT. Ta okoliščina je primerna za uporabo pri pisanju in testiranju zunanjih obdelovalcev prekinitev, ki jih je mogoče skoraj v celoti odpraviti z vznemirjenjem s preprostimi programskimi orodji.

Argumenti se posredujejo upravljalcem prekinitev prek registrov ali sklada.

Programski model mikroprocesorja x86. Klasifikacija, seznam in namen registrov uporabnikov.

Programski model mikroprocesorja razumemo kot tisti njegov del, ki je ostal viden in dostopen za programiranje. Programski model bomo obravnavali na primeru procesorja i80486, ki vsebuje 32 registrov, do neke mere na voljo za uporabo programerju. Te registre lahko razdelimo v dve veliki skupini:

16 uporabniških registrov, ki jih lahko uporabnik prosto uporablja v svojih programih za izvajanje naloge;

16 sistem registri registri zasnovan za podporo različnih načinov delovanja, servisnih funkcij.

Registri imenovana področja pomnilnika visoke hitrosti, ki se nahajajo znotraj procesorja v neposredni bližini njegovega izvršilnega jedra. Dostop do njih je neprimerljivo hitrejši kot do RAM celic. Skladno s tem se strojni ukazi z operandi v registrih izvajajo čim hitreje.

Registri po meri vključujejo:

osem 32-bitnih registrov, ki jih programerji lahko uporabljajo za shranjevanje podatkov in naslovov. Imenujejo se registri splošnega namena (RON):

šest segmentnih registrov:

statusni in kontrolni registri:

register zastavic EFlags/Flags;

Register kazalca ukazov EIP/IP.

riž. 1.3registri uporabnikov mikroprocesorja i486

Številna imena registrov so podana s poševnico. Opozoriti je treba, da to niso različni registri - so deli enega velikega 32-bitnega registra. V programu jih je mogoče uporabiti kot ločene objekte. To je bilo storjeno, da bi zagotovili delovanje programov, napisanih za mlajše modele 16-bitnih mikroprocesorjev Intel, začenši z i8086. Mikroprocesorji i486 in Pentium imajo večinoma 32-bitne registre. Njihovo število, z izjemo segmentnih registrov, je enako kot pri i8086, vendar je dimenzija večja, kar se odraža v njihovih oznakah - imajo predpono E (Extended).

Upoštevajte sestavo in namen registrov uporabnikov.

Splošni registri

Vsi registri te skupine vam omogočajo dostop do njihovih "spodnjih" delov (glej sliko 1.3). Upoštevajte, da se kot neodvisni objekti lahko uporabljajo le spodnji 16- in 8-bitni deli teh registrov. Zgornjih 16 bitov teh registrov ni na voljo kot neodvisni objekti. Kot je navedeno zgoraj, je to narejeno zaradi združljivosti z mlajšimi modeli 16-bitnih mikroprocesorjev Intel.

Naj podrobneje naštejemo registre, ki spadajo v skupino splošnih registrov. Ker se ti registri fizično nahajajo v mikroprocesorju znotraj aritmetične logične enote (ALU), jih pogosto imenujemo registri ALU:

EAX/AX/AH/AL (akumulatorski register) – baterijo. Uporablja se za shranjevanje vmesnih podatkov. V nekaterih ukazih je uporaba tega registra obvezna;

EBX/BX/BH/BL (osnovni register) – osnova register. Uporablja se za shranjevanje osnovnega naslova nekega predmeta v pomnilnik;

ECX/CX/CH/CL (register števca) – register- števec. Uporablja se v ukazih, ki izvajajo nekatera ponavljajoča se dejanja. Njegova uporaba je pogosto implicitna in skrita v algoritmu ustreznega ukaza. Na primer, ukaz za organizacijo zanke se poleg prenosa nadzora na ukaz, ki se nahaja na določenem naslovu, zmanjša za eno in analizira vrednost registra ECX / CX;

EDX / DX / DH / DL (Data register) - register podatke. Tako kot register EAX/AX/AH/AL shranjuje vmesne podatke. Nekateri ukazi zahtevajo njegovo uporabo; pri nekaterih ukazih se to zgodi implicitno (na primer množenje in deljenje).

Naslednja dva registra se uporabljata za podporo tako imenovanih verižnih operacij, to je operacij, ki zaporedno obdelujejo verige elementov, od katerih je vsak lahko dolg 32, 16 ali 8 bitov:

ESI/SI (izvorni indeksni register) – kazalo vir. Ta register v verižnih operacijah vsebuje trenutni naslov elementa v izvorni verigi;

EDI/DI (destinacijski indeksni register) – kazalo sprejemnik(prejemnik). Ta register v verižnih operacijah vsebuje trenutni naslov v ciljni verigi.

Arhitektura mikroprocesorja na ravni strojne in programske opreme podpira takšno podatkovno strukturo, kot je kup .

Stack je območje pomnilnika, ki je posebej dodeljeno za začasno shranjevanje programskih podatkov. Mikroprocesor organizira delo s skladom po naslednjem principu: zadnji element, vnesen v to področje, se najprej pridobi.

Za delo s skladom v sistemu ukazov mikroprocesorja obstajajo posebni ukazi, v modelu programske opreme mikroprocesorja pa za to obstajajo posebni registri:

ESP / SP (Stack Pointer register) - register kazalec kup. Vsebuje kazalec na vrh sklada v trenutnem segmentu sklada.

EBP/BP (Base Pointer register) - register osnovni kazalec okvirja sklada. Zasnovan za organiziranje naključnega dostopa do podatkov znotraj sklada.

Podrobneje so značilnosti uporabe sklada obravnavane v modulu št. 4 "Navodila za mikroprocesor i80486", razdelek "Navodila za delo s skladom".

Pravzaprav funkcionalnost registrov ALU ni toga. Večino registrov je mogoče uporabiti pri programiranju za shranjevanje operandov v skoraj vseh kombinacijah. Toda, kot je omenjeno zgoraj, nekateri ukazi za izvajanje svojih dejanj uporabljajo fiksne registre.

segmentni registri

V modelu mikroprocesorske programske opreme je šest segmentnih registrov: CS, SS, D.S., ES, FS, GS. Njihov obstoj je posledica posebnosti organizacije in uporabe RAM-a s strani mikroprocesorjev Intel. Leži v tem, da mikroprocesorska strojna oprema podpira strukturno organizacijo programa v obliki treh delov, imenovanih segmenti. V skladu s tem se taka organizacija spomina imenuje segment.

Da bi označili segmente, do katerih ima program dostop v določenem trenutku, in so namenjeni segmentni registri. Pravzaprav z rahlim popravkom, kot bomo videli pozneje, ti registri vsebujejo pomnilniške naslove, iz katerih se začnejo ustrezni segmenti. Logika obdelave strojnega ukaza je zgrajena tako, da se naslovi v natančno definiranih segmentnih registrih implicitno uporabljajo pri pridobivanju ukaza, dostopu do programskih podatkov ali dostopu do sklada. Vrste segmentov in njihovi ustrezni registri so podrobneje obravnavani v razdelku 3 "Organizacija segmentov pomnilnika" tega modula.

Statusni in kontrolni registri

Mikroprocesor vključuje dva registra, ki stalno vsebujeta informacije o stanju samega mikroprocesorja in programa, katerega ukazi so trenutno naloženi v cevovod:

register zastave EFstavice/Zastavice;

register kazalec navodil EIP/IP.

Z uporabo teh registrov lahko dobite informacije o rezultatih izvajanja ukazov in vplivate na stanje samega mikroprocesorja. Oglejmo si podrobneje namen in vsebino teh registrov:

EFstavice/ Zastave(Register zastav). Posamezni biti tega registra imajo določen funkcionalni namen in se imenujejo zastavice. Spodnji del tega registra je popolnoma enak registru zastavic za i8086. Na sl. 1.4 prikazuje vsebino registra EFlags.

Na podlagi vzorcev uporabe lahko registrske zastavice EFlags/Flags razdelimo v tri skupine:

8 statusnih zastavic. Te zastavice se lahko spremenijo po izvedbi strojnih navodil. Statusne zastavice register EFlags odraža značilnosti rezultata izvajanja aritmetičnih ali logičnih operacij. To omogoča analizo stanja računalniškega procesa in odziv nanj z uporabo ukazov za pogojni skok in klicev podprogramov. V tabeli. 1.1 prikazuje glavne statusne zastavice in njihov namen;

1 nadzorna zastavica. Določena DF (smerna zastavica). Nahaja se v bitu 10 registra EFlags in ga uporabljajo verižna navodila. Vrednost zastavice DF določa smer obdelave po elementih v teh operacijah: od začetka niza do konca (DF = 0) ali obratno, od konca niza do njegovega začetka (DF = 1). Za delo z zastavo DF obstajajo posebni ukazi: cld(odstranite zastavico DF) in std(nastavite zastavo DF). Uporaba teh ukazov vam omogoča, da zastavico DF uskladite z algoritmom in zagotovite samodejno povečanje ali zmanjšanje števcev pri izvajanju operacij z nizi;

5 sistemskih zastavic, ki nadzirajo V/I, prekinitve, ki jih je mogoče maskirati, razhroščevanje, preklapljanje med opravili in navidezni način 8086. Za aplikacijske programe ni priporočljivo spreminjati teh zastavic po nepotrebnem, saj bo to v večini primerov povzročilo prekinitev programa. V tabeli. 1.2 navaja sistemske zastavice in njihov namen.

riž. 1.4Vsebina registracije EFstavice

Tabela 1.1

Osnovne statusne zastavice

Mnemotehnika zastave	Zastava	Bitna številka v EFstavice
	Carry Flag		1 - aritmetična operacija, prenesena iz višjega bita rezultata. Najpomembnejši bit je 7, 15 ali 31, odvisno od velikosti operanda; 0 - prenos ni bil
	Zastava paritete		1–8 najmanj pomembnih bitov (ta zastavica je samo za 8 najmanj pomembnih bitov operanda katere koli velikosti) rezultata vsebuje sodo število enic; 0–8 najmanj pomembnih števk rezultata vsebuje liho število enic
	Zero Flag		1 - rezultat je nič; 0 - neničelni rezultat
	znak zastava		Odraža stanje visokega bita rezultata (biti 7, 15 ali 31 za 8, 16 ali 32-bitne operande): 1 – visoki bit rezultata je 1; 0 - najpomembnejši bit rezultata je 0
	Zastavica za prelivanje		Zastavica se uporablja za določitev dejstva izgube pomembnega bita med aritmetičnimi operacijami: 1 - kot rezultat operacije pride do prenosa (izposoje) na (iz) najpomembnejšega bita predznaka rezultata (biti 7, 15 ali 31 za 8, 16 ali 32-bitne operande); 0 - kot rezultat operacije ni prenosa (izposoje) v (iz) visokega predznačnega bita rezultata

Opredelitev

Skalar- vrednost, ki jo je mogoče označiti s številko. Na primer dolžina, površina, masa, temperatura itd.

Vektor usmerjen segment se imenuje $\overline(A B)$; točka $A$ je začetek, točka $B$ pa konec vektorja (slika 1).

Vektor je označen z dvema velikima črkama - njegov začetek in konec: $\overline(A B)$ ali z eno malo črko: $\overline(a)$.

Opredelitev

Če sta začetek in konec vektorja enaka, se tak vektor imenuje nič. Najpogosteje je ničelni vektor označen kot $\overline(0)$.

Vektorji se imenujejo kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah (slika 2).

Opredelitev

Imenujemo dva kolinearna vektorja $\overline(a)$ in $\overline(b)$ sosmerno, če sta njuni smeri enaki: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (slika 3, a). Imenujemo dva kolinearna vektorja $\overline(a)$ in $\overline(b)$ nasprotne smeri, če sta njuni smeri nasprotni: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (slika 3b).

Opredelitev

Vektorji se imenujejo komplanarenče sta vzporedni z isto ravnino ali ležita v isti ravnini (slika 4).

Dva vektorja sta vedno komplanarna.

Opredelitev

Dolžina (modul) vektor $\overline(A B)$ je razdalja med njegovim začetkom in koncem: $|\overline(A B)|$

Podrobna teorija o dolžini vektorja je na povezavi.

Dolžina ničelnega vektorja je nič.

Opredelitev

Imenuje se vektor, katerega dolžina je enaka ena enotski vektor oz ortom.

Vektorji se imenujejo enakače ležijo na eni ali vzporednih premicah; njuni smeri sovpadata in dolžini sta enaki.

Z drugimi besedami, dva vektorja enaka, če so kolinearne, sousmerjene in imajo enake dolžine:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

V poljubni točki $M$ v prostoru lahko zgradimo en sam vektor $\overline(M N)$, ki je enak danemu vektorju $\overline(A B)$.

Torej, storitve:

Vektorska storitev omogoča izvedbo dejanja na vektorje.
Če imate nalogo izvesti bolj zapleteno transformacijo, potem je treba to storitev uporabiti kot konstruktor.
Primer. Vektorski podatki a in b, moramo najti vektor z = a + 3*b,

Vektorsko množenje (pikčasti produkt)

To je spletna storitev trije koraki:

• a
• b

Vsota vektorjev

To je spletna storitev trije koraki:

• Vnesite vektor prvega člena a
• Vnesite vektor drugega člena b
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Dolžina vektorja

To je spletna storitev dva koraka:

• Vnesite Vector a, za katerega morate najti dolžino vektorja
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Pomnožite vektor s številom

To je spletna storitev v trije koraki:

• Vnesite prvi faktorski vektor a
• Vnesite drugo številko faktorja q
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Vektorsko odštevanje

To je spletna storitev trije koraki:

• Vnesite prvi vektor a, ki se odšteje
• Vnesite drugi vektor b, od katerega odštejemo
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Pravokotni vektor

To je spletna storitev dva koraka:

• Vnesite Vector a, za katerega morate najti enotski vektor, pravokoten na dano
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Navzkrižni produkt vektorjev

To je spletna storitev v trije koraki:

• Vnesite prvi faktorski vektor a
• Vnesite vektor drugega faktorja b
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

Mešani produkt vektorjev

To je spletna storitev štiri korake:

• Vnesite prvi faktorski vektor a
• Vnesite vektor drugega faktorja b
• Vnesite vektor tretjega faktorja z
• Določite e-pošto, kamor želite poslati rešitev

2018 Olševski Andrej Georgijevič

Spletna stran poln knjig, lahko prenesete knjige

Vektorji na ravnini in v prostoru, načini reševanja problemov, primeri, formule

1 Vektorji v prostoru

Vektorji v prostoru vključujejo geometrijo 10, razred 11 in analitično geometrijo. Vektorji omogočajo učinkovito reševanje geometrijskih problemov drugega dela izpita in analitične geometrije v prostoru. Vektorji v prostoru so podani na enak način kot vektorji v ravnini, le da je upoštevana tretja koordinata z. Izključitev iz vektorjev v prostoru tretje dimenzije daje vektorje na ravnini, kar pojasnjuje geometrijo 8, 9 razreda.

1.1 Vektor na ravnini in v prostoru

Vektor je usmerjen segment z začetkom in koncem, ki je na sliki označen s puščico. Poljubno točko v prostoru lahko štejemo za ničelni vektor. Ničelni vektor nima določene smeri, saj sta začetek in konec enaka, zato mu lahko damo poljubno smer.

Vektor v prevodu iz angleščine pomeni vektor, smer, tečaj, vodenje, nastavitev smeri, smer letala.

Dolžina (modul) neničelnega vektorja je dolžina odseka AB, ki ga označimo
. Dolžina vektorja označeno . Ničelni vektor ima dolžino enako nič = 0.

Kolinearni vektorji so neničelni vektorji, ki ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah.

Ničelni vektor je kolinearen kateremu koli vektorju.

Sosmerni se imenujejo kolinearni neničelni vektorji, ki imajo eno smer. Sosmerni vektorji so označeni z . Na primer, če je vektor sosmeren z vektorjem , potem se uporabi zapis.

Ničelni vektor je sosmeren s katerimkoli vektorjem.

Nasprotno usmerjena sta dva kolinearna neničelna vektorja, ki imata nasprotno smer. Nasprotno usmerjeni vektorji so označeni z ↓. Na primer, če je vektor nasproten vektorju, se uporabi zapis ↓.

Sosmerni vektorji enake dolžine se imenujejo enaki.

Številne fizikalne količine so vektorske: sila, hitrost, električno polje.

Če točka uporabe (začetek) vektorja ni nastavljena, potem je izbrana poljubno.

Če je začetek vektorja postavljen v točko O, se šteje, da je vektor odmaknjen od točke O. Iz katere koli točke je mogoče narisati en vektor, ki je enak danemu vektorju.

1.2 Vsota vektorjev

Pri seštevanju vektorjev po pravilu trikotnika se nariše vektor 1, s konca katerega je narisan vektor 2, vsota teh dveh vektorjev pa je vektor 3, narisan od začetka vektorja 1 do konca vektorja 2:

Za poljubne točke A , B in C lahko zapišete vsoto vektorjev:

+
=

Če dva vektorja izhajata iz iste točke

potem jih je bolje sešteti po pravilu paralelograma.

Ko dodamo dva vektorja v skladu s pravilom paralelograma, sta dodana vektorja odložena od ene točke, paralelogram se zaključi iz koncev teh vektorjev z uporabo začetka drugega na koncu enega vektorja. Vektor, ki ga tvori diagonala paralelograma, ki izhaja iz začetne točke dodanih vektorjev, bo vsota vektorjev

Pravilo paralelograma vsebuje drugačen vrstni red seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika.

Vektorski adicijski zakoni:

1. Komutativni zakon + = + .

2. Asociativni zakon ( + ) + = + ( + ).

Če je treba dodati več vektorjev, se vektorji dodajajo v parih ali po pravilu poligona: vektor 2 se nariše s konca vektorja 1, vektor 3 se nariše s konca vektorja 2, vektor 4 se nariše iz konca vektorja 1. konec vektorja 3, vektor 5 se nariše s konca vektorja 4 itd. Vektor, ki je vsota več vektorjev, se nariše od začetka vektorja 1 do konca zadnjega vektorja.

V skladu z zakoni vektorskega seštevanja vrstni red vektorskega seštevanja ne vpliva na nastali vektor, ki je vsota več vektorjev.

Nasproti sta dva neničelna nasprotno usmerjena vektorja enake dolžine. Vektor - je nasprotje vektorja

Ti vektorji so nasprotno usmerjeni in enaki v absolutni vrednosti.

1.3 Vektorska razlika

Razliko vektorjev lahko zapišemo kot vsoto vektorjev

- = + (-),

kjer je "-" vektor nasproti vektorja .

Vektorje in - lahko seštejemo po pravilu trikotnika ali paralelograma.

Naj vektorji in

Da bi našli razliko vektorjev - zgradimo vektor -

Vektorje seštejemo in - po pravilu trikotnika z uporabo začetka vektorja - na koncu vektorja, dobimo vektor + (-) = -

Seštejemo vektorje in - po pravilu paralelograma, odložimo začetke vektorjev in - iz ene točke.

Če vektorja in izhajata iz iste točke

,

nato razlika vektorjev - daje vektor, ki povezuje njihove konce in puščica na koncu nastalega vektorja je postavljena v smeri vektorja, od katerega se odšteje drugi vektor

Spodnja slika prikazuje seštevanje in razliko vektorjev

Spodnja slika prikazuje seštevanje in razlikovanje vektorjev na različne načine.

Naloga. Podani vektorji in .

Nariši vsoto in razliko vektorjev po vseh možne načine v vseh možnih kombinacijah vektorjev.

1.4 Lema kolinearnega vektorja

= k

1.5 Množenje vektorja s številom

Zmnožek neničelnega vektorja s številom k daje vektor = k , kolinearen vektorju . Dolžina vektorja:

| | = |k |·| |

Če k > 0, potem sta vektorja in sosmerna.

Če k = 0, potem je vektor enak nič.

Če k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Če | k | = 1, potem sta vektorja in enako dolga.

Če k = 1, potem in enaka vektorja.

Če k = -1, potem nasprotni vektorji.

Če | k | > 1, potem je dolžina vektorja večja od dolžine vektorja .

Če k > 1, potem sta vektorja in sosmerna in je dolžina večja od dolžine vektorja .

Če k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Če | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Če je 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Če -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Zmnožek ničelnega vektorja s številom daje ničelni vektor.

Naloga. Podan vektor.

Konstruirajte vektorje 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Naloga. Podani vektorji in .

Sestavite vektorje 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Zakoni, ki opisujejo množenje vektorja s številom

1. Kombinacijski zakon (kn) = k (n)

2. Prvi distribucijski zakon k ( + ) = k + k .

3. Drugi distribucijski zakon (k + n) = k + n.

Za kolinearne vektorje in, če je ≠ 0, obstaja eno samo število k, ki omogoča izražanje vektorja v smislu:

= k

1.6 Koplanarni vektorji

Koplanarni vektorji so tisti, ki ležijo v isti ravnini ali v vzporednih ravninah. Če iz ene točke narišete vektorje, ki so enaki danim koplanarnim vektorjem, bodo ležali v isti ravnini. Zato lahko rečemo, da se vektorji imenujejo koplanarni, če obstajajo enaki vektorji, ki ležijo v isti ravnini.

Dva poljubna vektorja sta vedno komplanarna. Trije vektorji so lahko koplanarni ali pa tudi ne. Trije vektorji, od katerih sta vsaj dva kolinearna, so komplanarni. Kolinearni vektorji so vedno komplanarni.

1.7 Razgradnja vektorja na dva nekolinearna vektorja

Kateri koli vektor enolično razgradi na ravnini v dva nekolinearna neničelna vektorja in samo z ekspanzijskima koeficientoma x in y:

= x+y

Vsak vektor, ki je koplanaren na vektorje, ki niso nič, in je edinstveno razčlenjen na dva nekolinearna vektorja in z edinstvenima koeficientoma raztezanja x in y:

= x+y

Razširimo dani vektor na ravnino glede na dane nekolinearne vektorje in :

Iz ene točke nariši dane koplanarne vektorje

S konca vektorja narišemo premice, ki so vzporedne z vektorji in do presečišča s premicami, narisanimi skozi vektorja in . Dobite paralelogram

Dolžine stranic paralelograma dobimo tako, da dolžine vektorjev in pomnožimo s številoma x in y, ki ju določimo tako, da dolžine stranic paralelograma delimo z dolžinami ustreznih vektorjev in. Dobimo razgradnjo vektorja v dane nekolinearne vektorje in :

= x+y

V problemu, ki ga rešujemo, je x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, zato lahko razširitev vektorja v danih nekolinearnih vektorjih in zapišemo kot

1,3 + 1,9 .

V problemu, ki ga rešujemo, je x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, zato lahko razširitev vektorja v danih nekolinearnih vektorjih in zapišemo kot

1,3 - 1,9 .

1.8 Pravilo škatle

Paralelepiped je tridimenzionalna figura, katere nasprotni ploskvi sta sestavljena iz dveh enakih paralelogramov, ki ležita v vzporednih ravninah.

Pravilo paralelepipeda vam omogoča, da dodate tri nekoplanarne vektorje, ki so narisani iz ene točke, in zgradite paralelepiped tako, da sešteti vektorji tvorijo njegove robove, preostali robovi paralelepipeda pa so vzporedni in enaki dolžinam oblikovanih robov s seštetimi vektorji. Diagonala paralelepipeda tvori vektor, ki je vsota danih treh vektorjev, ki se začne iz začetne točke dodanih vektorjev.

1.9 Razgradnja vektorja na tri nekoplanarne vektorje

Kateri koli vektor razširi v treh danih nekoplanarnih vektorjih , in z enojnimi ekspanzijskimi koeficienti x, y, z:

= x + y + z.

1.10 Pravokotni koordinatni sistem v prostoru

V tridimenzionalnem prostoru je pravokotni koordinatni sistem Oxyz določen z izhodiščem O in v njem sekajočimi se medsebojno pravokotnimi koordinatnimi osmi Ox , Oy in Oz z izbranimi pozitivnimi smermi, označenimi s puščicami in mersko enoto segmentov. Če je merilo segmentov enako po vseh treh oseh, se tak sistem imenuje kartezični koordinatni sistem.

Koordinate x se imenuje abscisa, y je ordinata, z je aplikata. Koordinate točke M so zapisane v oklepaju M (x ; y ; z ).

1.11 Vektorske koordinate v prostoru

V prostoru postavimo pravokotni koordinatni sistem Oxyz . Iz izhodišča v pozitivnih smereh osi Ox , Oy , Oz narišemo ustrezne enotske vektorje , , , ki se imenujejo koordinatni vektorji in niso koplanarni. Zato lahko vsak vektor razčlenimo na tri dane nekoplanarne koordinatne vektorje in z edinimi ekspanzijskimi koeficienti x, y, z:

= x + y + z.

Raztezni koeficienti x , y , z so koordinate vektorja v danem pravokotnem koordinatnem sistemu, ki so zapisane v oklepaju (x ; y ; z ). Ničelni vektor ima koordinate enake nič (0; 0; 0). Pri enakih vektorjih so ustrezne koordinate enake.

Pravila za iskanje koordinat nastalega vektorja:

1. Pri seštevanju dveh ali več vektorjev je vsaka koordinata nastalega vektorja enaka vsoti ustreznih koordinat danih vektorjev. Če sta podana dva vektorja (x 1 ; y 1 ; z 1) in (x 1 ; y 1 ; z 1), potem vsota vektorjev + daje vektor s koordinatami (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z1)

+ = (x 1 + x 1; y 1 + y 1 ; z1 + z1)

2. Razlika je neke vrste vsota, zato razlika pripadajočih koordinat da vsako koordinato vektorja, ki ga dobimo z odštevanjem obeh danih vektorjev. Če sta podana dva vektorja (x a; y a; z a) in (x b; y b; z b), potem razlika vektorjev - daje vektor s koordinatami (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. Pri množenju vektorja s številom je vsaka koordinata nastalega vektorja enaka produktu tega števila z ustrezno koordinato danega vektorja. Če sta dana število k in vektor (x; y; z), potem z množenjem vektorja s številom k dobimo vektor k s koordinatami

k = (kx; ky; kz).

Naloga. Poiščite koordinate vektorja = 2 - 3 + 4, če so koordinate vektorjev (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

rešitev

2 + (-3) + 4

2 = (2 1; 2 (-2); 2 (-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3 (-2); -3 3; -3 (-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4 (-1); 4 (-3); 4 2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Vektor, radij vektor in koordinate točke

Vektorske koordinate so koordinate konca vektorja, če je začetek vektorja postavljen v izhodišče.

Radij vektor je vektor, narisan iz izhodišča v dano točko, pri čemer sta koordinati radij vektorja in točke enaki.

Če vektor
podana s točkama M 1 (x 1; y 1; z 1) in M ​​2 (x 2; y 2; z 2), potem je vsaka njegova koordinata enaka razliki med pripadajočima koordinatama konca in začetka vektor

Za kolinearne vektorje = (x 1 ; y 1 ; z 1) in = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), če je ≠ 0, obstaja eno samo število k, ki omogoča izražanje vektorja v smislu:

= k

Nato so koordinate vektorja izražene s koordinatami vektorja

= (kx 1; ky1; kz 1)

Razmerje pripadajočih koordinat kolinearnih vektorjev je enako enemu številu k

1.13 Dolžina vektorja in razdalja med dvema točkama

Dolžina vektorja (x; y; z) je enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov njegovih koordinat

Dolžina vektorja, podana s točkama začetka M 1 (x 1; y 1; z 1) in konca M 2 (x 2; y 2; z 2), je enaka kvadratnemu korenu vsote kvadrati razlike med ustreznima koordinatama konca in začetka vektorja

Razdalja d med dvema točkama M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) in M ​​2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) je enaka dolžini vektorja

Na ravnini ni koordinate z

Razdalja med točkama M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2)

1.14 Koordinate sredine segmenta

Če točka C je razpolovišče odseka AB, potem je polmerni vektor točke C v poljubnem koordinatnem sistemu z izhodiščem v točki O enak polovici vsote radijskih vektorjev točk A in B

Če koordinate vektorjev
(x; y; z),
(x 1; y 1; z 1),
(x 2; y 2; z 2), potem je vsaka koordinata vektorja enaka polovici vsote ustreznih koordinat vektorjev in

,
,

= (x, y, z) =

Vsaka od koordinat sredine segmenta je enaka polovici vsote ustreznih koordinat koncev segmenta.

1.15 Kot med vektorji

Kot med vektorji je enak kotu med žarki, narisanimi iz ene točke in sousmerjeni s temi vektorji. Kot med vektorji je lahko od 0 0 do vključno 180 0. Kot med sosmernima vektorjema je enak 0 0 . Če je en vektor ali oba enaka nič, potem je kot med vektorjema, od katerih je vsaj eden enak nič, enak 0 0 . Kot med pravokotnima vektorjema je 90 0 . Kot med nasprotno usmerjenima vektorjema je 180 0 .

1.16 Vektorska projekcija

1.17 Točkovni produkt vektorjev

Skalarni zmnožek dveh vektorjev je število (skalar), ki je enako zmnožku dolžin vektorjev in kosinusa kota med vektorjema.

Če = 0 0 , potem sta vektorja sosmerna
in
= cos 0 0 = 1, torej je skalarni produkt sosmernih vektorjev enak produktu njihovih dolžin (modulov)

.

Če je kot med vektorji 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, torej je skalarni produkt večji od nič
.

Če so vektorji, ki niso nič, pravokotni, potem je njihov skalarni produkt enak nič
, saj je cos 90 0 = 0. Skalarni produkt pravokotnih vektorjev je enak nič.

Če
, potem je kosinus kota med takima vektorjema manjši od nič
, torej je skalarni produkt manjši od nič
.

Ko se kot med vektorji povečuje, kosinus kota med njima
zmanjša in doseže minimalno vrednost pri = 180 0, ko sta vektorja nasprotno usmerjena
. Ker je cos 180 0 = -1, potem
. Skalarni produkt nasprotno usmerjenih vektorjev je enak negativnemu produktu njihovih dolžin (modulov).

Skalarni kvadrat vektorja je enak modulu vektorja na kvadrat

Skalarni produkt vektorjev, od katerih je vsaj eden enak nič, je enak nič.

1.18 Fizični pomen skalarnega produkta vektorjev

Iz tečaja fizike je znano, da je delo A sile med premikanjem telesa je enak produktu dolžin vektorjev sile in premika ter kosinusa kota med njima, torej je enak skalarnemu produktu vektorja sile in premika

Če je vektor sile sousmerjen z gibanjem telesa, potem je kot med vektorjema
= 0 0 , zato je delo sile na premik največje in je enako A =
.

Če je 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Če je = 90 0 , potem je delo sile na premik enako nič A = 0.

Če je 900< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Če je vektor sile nasproten gibanju telesa, potem je kot med vektorjema = 180 0, zato je delo sile pri gibanju negativno in enako A = -.

Naloga. Določite delo gravitacije pri dvigovanju osebnega avtomobila, ki tehta 1 tono, po 1 km dolgi progi z naklonom 30 0 proti obzorju. Koliko litrov vode pri temperaturi 20 0 lahko zavremo s to energijo?

rešitev

delo Gravitacija pri premikanju telesa je enak zmnožku dolžin vektorjev in kosinusa kota med njima, torej je enak skalarnemu zmnožku vektorjev gravitacije in premika

Gravitacija

G \u003d mg \u003d 1000 kg 10 m / s 2 \u003d 10.000 N.

= 1000 m.

Kot med vektorji = 1200. Potem

cos 120 0 \u003d cos (90 0 + 30 0) \u003d - sin 30 0 \u003d - 0,5.

Nadomestek

A \u003d 10.000 N 1000 m (-0,5) \u003d - 5.000.000 J \u003d - 5 MJ.

1.19 Točkovni produkt vektorjev v koordinatah

Pikčasti produkt dveh vektorjev = (x 1 ; y 1 ; z 1) in \u003d (x 2; y 2; z 2) v pravokotnem koordinatnem sistemu je enaka vsoti produktov istoimenskih koordinat

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2.

1.20 Pogoj pravokotnosti vektorjev

Če so neničelni vektorji \u003d (x 1; y 1; z 1) in \u003d (x 2; y 2; z 2) pravokotni, potem je njihov skalarni produkt enak nič

Če je podan en neničelni vektor = (x 1; y 1; z 1), potem morajo koordinate vektorja, ki je pravokoten (normalen) nanj = (x 2; y 2; z 2), zadostiti enakosti

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Takih vektorjev je neskončno veliko.

Če je na ravnini nastavljen en neničelni vektor = (x 1; y 1), potem morajo koordinate vektorja, ki je pravokoten (normala) nanj = (x 2; y 2), zadostiti enakosti

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Če je na ravnini postavljen neničelni vektor = (x 1 ; y 1), potem je dovolj, da poljubno nastavimo eno od koordinat vektorja pravokotno (normalno) nanj = (x 2 ; y 2) in iz pogoj pravokotnosti vektorjev

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

izrazimo drugo koordinato vektorja .

Na primer, če nadomestimo poljubno koordinato x 2, potem

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Druga koordinata vektorja

Če podate x 2 \u003d y 1, potem je druga koordinata vektorja

Če je na ravnini podan neničelni vektor = (x 1; y 1), potem je vektor, ki je pravokoten (normala) nanj = (y 1; -x 1).

Če je ena od koordinat vektorja, ki ni nič, enaka nič, potem ima vektor isto koordinato, ki ni enaka nič, druga koordinata pa je enaka nič. Takšni vektorji ležijo na koordinatnih oseh, zato so pravokotni.

Določimo drugi vektor, pravokoten na vektor = (x 1 ; y 1), vendar nasproten vektorju , to je vektor - . Potem zadošča, da spremenimo znake koordinat vektorja

- = (-y1; x1)

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Naloga.

rešitev

Koordinate dveh vektorjev, pravokotnih na vektor = (x 1; y 1) na ravnini

1 = (y1; -x1)

2 = (-y1; x1).

Nadomestimo koordinate vektorja = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 (-5) + (-5) (-3) = -15 + 15 = 0

prav!

3 5 + (-5) 3 = 15 - 15 = 0

prav!

Odgovor: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Če priredimo x 2 = 1, nadomestimo

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Pridobite koordinato y 2 vektorja, pravokotnega na vektor = (x 1; y 1)

Da bi dobili drugi vektor, pravokoten na vektor = (x 1; y 1), vendar nasproten vektorju . Pustiti

Potem je dovolj, da spremenimo znake koordinat vektorja.

Koordinate dveh vektorjev, pravokotnih na vektor = (x 1; y 1) na ravnini

Naloga. Podan je vektor = (3; -5). Poiščite dva normalna vektorja z različno orientacijo.

rešitev

Koordinate dveh vektorjev, pravokotnih na vektor = (x 1; y 1) na ravnini

Enotne vektorske koordinate

Koordinate drugega vektorja

Za preverjanje pravokotnosti vektorjev zamenjamo njihove koordinate v pogoj pravokotnosti vektorjev

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

prav!

3 (-1) + (-5) (-0,6) = -3 + 3 = 0

prav!

Odgovor: in.

Če dodelite x 2 \u003d - x 1, zamenjajte

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Dobite koordinato vektorja, pravokotnega na vektor

Če dodelite x 2 \u003d x 1, zamenjajte

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Dobite y koordinato drugega vektorja, pravokotnega na vektor

Koordinate enega vektorja, pravokotnega na vektor v ravnini = (x 1; y 1)

Koordinate drugega vektorja, pravokotne na vektor v ravnini = (x 1; y 1)

Koordinate dveh vektorjev, pravokotnih na vektor = (x 1; y 1) na ravnini

1.21 Kosinus kota med vektorjema

Kosinus kota med dvema vektorjema, ki nista nič \u003d (x 1; y 1; z 1) in \u003d (x 2; y 2; z 2) je enak skalarnemu produktu vektorjev, deljenemu s produktom dolžine teh vektorjev

Če
= 1, potem je kot med vektorjema enak 0 0 , vektorja sta sosmerna.

Če je 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Če je = 0, je kot med vektorjema enak 90 0 , vektorja sta pravokotna.

Če -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Če je = -1, potem je kot med vektorjema 180 0 , vektorja sta nasprotno usmerjena.

Če je neki vektor podan s koordinatami začetka in konca, potem z odštevanjem koordinat začetka od ustreznih koordinat konca vektorja dobimo koordinate tega vektorja.

Naloga. Poiščite kot med vektorji (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

rešitev

Točkovni produkt vektorjev

= 0 (-2) + (-2) 0 + 0 (-4) = 0,

torej je kot med vektorjema = 90 0 .

1.22 Lastnosti pikčastega produkta vektorjev

Lastnosti skalarnega produkta veljajo za katero koli , , ,k :

1.
, če
, potem
, če =, potem
= 0.

2. Zakon o premikanju

3. Distributivni zakon

4. Kombinacijski zakon
.

1.23 Vektor smeri direktno

Usmerjevalni vektor premice je neničelni vektor, ki leži na premici ali na premici, ki je vzporedna z dano premico.

Če je premica podana z dvema točkama M 1 (x 1; y 1; z 1) in M ​​2 (x 2; y 2; z 2), potem je vektor vodilo
ali njegov nasprotni vektor
= - , katere koordinate

Zaželeno je, da koordinatni sistem nastavite tako, da premica poteka skozi izvor, potem bodo koordinate edine točke na premici koordinate vektorja smeri.

Naloga. Določite koordinate usmerjevalnega vektorja premice, ki poteka skozi točke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

rešitev

Označen je smerni vektor premice, ki poteka skozi točke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).
. Vsaka njegova koordinata je enaka razliki med ustreznima koordinatama konca in začetka vektorja

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Upodabljamo usmerjevalni vektor premice v koordinatnem sistemu z začetkom v točki M 1, s koncem v točki M 2 in vektorjem, ki je enak njemu.
od začetka s koncem v točki M (-1; 1; 0)

1.24 Kot med dvema premicama

Možne možnosti za relativni položaj 2 črt na ravnini in kot med temi črtami:

1. Premice se sekajo v eni točki in tvorijo 4 kote, 2 para navpičnih kotov sta v parih enaka. Kot φ med dvema sekajočima se premicama je kot, ki ne presega ostalih treh kotov med tema premicama. Zato je kot med premicama φ ≤ 90 0 .

Premice, ki se sekajo, so lahko zlasti pravokotne φ = 90 0 .

Možne možnosti za relativni položaj 2 črt v prostoru in kot med temi črtami:

1. Premice se sekajo v eni točki in tvorijo 4 kote, 2 para navpičnih kotov sta v parih enaka. Kot φ med dvema sekajočima se premicama je kot, ki ne presega ostalih treh kotov med tema premicama.

2. Premici sta vzporedni, to pomeni, da ne sovpadata in se ne sekata, φ=0 0 .

3. Premice sovpadajo, φ = 0 0 .

4. Premice se sekajo, to pomeni, da se ne sekajo v prostoru in niso vzporedne. Kot φ med sekajočima se premicama je kot med premicama, ki sta narisani vzporedno s temi premicami, tako da se sekata. Zato je kot med premicama φ ≤ 90 0 .

Kot med dvema premicama je enak kotu med premicama, narisanima vzporedno s tema premicama v isti ravnini. Zato je kot med premicama 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Kot θ (theta) med vektorji in 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Če je kot φ med premicama α in β enak kotu θ med smernima vektorjema teh premic φ = θ, potem

cos φ = cos θ.

Če je kot med črtami φ = 180 0 - θ, potem

cos φ \u003d cos (180 0 - θ) \u003d - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Zato je kosinus kota med premicami enak modulu kosinusa kota med vektorjema

cos φ = |cos θ|.

Če so podane koordinate neničelnih vektorjev = (x 1 ; y 1 ; z 1) in = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), potem je kosinus kota θ med njima

Kosinus kota med premicama je enak modulu kosinusa kota med smernima vektorjema teh premic

cos φ = |cos θ| =

Črte so enaki geometrijski objekti, zato so v formuli prisotne enake trigonometrične funkcije cos.

Če je vsaka od obeh črt podana z dvema točkama, potem je mogoče določiti smerne vektorje teh črt in kosinus kota med črtama.

Če cos φ \u003d 1, potem je kot φ med črtami 0 0, enega od usmerjevalnih vektorjev teh črt lahko vzamemo za te črte, črte so vzporedne ali sovpadajo. Če črti ne sovpadata, sta vzporedni. Če premici sovpadata, potem katera koli točka ene premice pripada drugi premici.

Če je 0< cos φ ≤ 1, potem je kot med premicama 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Če cos φ \u003d 0, potem je kot φ med črtami 90 0 (črte so pravokotne), črte se sekajo ali sekajo.

Naloga. Določite kot med premicama M 1 M 3 in M ​​2 M 3 s koordinatami točk M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) in M ​​3 (0; 0; 1) .

rešitev

Konstruirajmo podane točke in premice v koordinatnem sistemu Oxyz.

Usmerjevalne vektorje premic usmerimo tako, da kot θ med vektorjema sovpada s kotom φ med danimi premicami. Nariši vektorje =
in =
, kot tudi kota θ in φ:

Določimo koordinate vektorjev in

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 in ax + by + cz = 0;

Ravnina je vzporedna s tisto koordinatno osjo, katere oznaka v enačbi ravnine ni in je zato ustrezni koeficient enak nič, na primer pri c = 0 je ravnina vzporedna z osjo Oz in ne vsebuje z v enačbi ax + by + d = 0;

Ravnina vsebuje koordinatno os, katere oznaka manjka, zato je ustrezni koeficient enak nič in d = 0, na primer pri c = d = 0 je ravnina vzporedna z osjo Oz in ne vsebuje z v enačbi ax + by = 0;

Ravnina je vzporedna s koordinatno ravnino, katere zapis v enačbi ravnine ni, zato so ustrezni koeficienti enaki nič, na primer za b = c = 0 je ravnina vzporedna s koordinato ravnino Oyz in ne vsebuje y, z v enačbi ax + d = 0.

Če ravnina sovpada s koordinatno ravnino, potem je enačba takšne ravnine enakost na nič oznake koordinatne osi, pravokotne na dano koordinatno ravnino, na primer pri x = 0 je dana ravnina koordinatna ravnina Oyz .

Naloga. Normalni vektor je podan z enačbo

Predstavi enačbo ravnine v normalni obliki.

rešitev

Normalne vektorske koordinate

A ; b; c ), potem lahko koordinate točke M 0 (x 0; y 0; z 0) in koordinate a, b, c normalnega vektorja nadomestimo v splošno enačbo ravnine.

ax + by + cz + d = 0 (1)

Dobimo enačbo z eno neznanko d

ax 0 + za 0 + cz 0 + d = 0

Od tod

d = -(ax 0 + za 0 + cz 0 )

Enačba ravnine (1) po zamenjavi d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Dobimo enačbo ravnine, ki poteka skozi točko M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) pravokotno na neničelni vektor (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Odprimo oklepaje

sekira - sekira 0 + za - za 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Označimo

d = - ax 0 - z 0 - cz 0

Dobimo splošno enačbo ravnine

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Enačba ravnine, ki poteka skozi dve točki in izhodišče

ax + by + cz + d = 0.

Koordinatni sistem je zaželeno nastaviti tako, da ravnina poteka skozi izhodišče tega koordinatnega sistema. Točki M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) in M ​​2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), ki ležita v tej ravnini, je treba nastaviti tako, da ravna črta, ki povezuje te točke, ne poteka skozi izvor.

Ravnina bo šla skozi izhodišče, torej d = 0. Potem postane splošna enačba ravnine

ax + by + cz = 0.

Neznani 3 koeficienti a, b, c. Če nadomestimo koordinate dveh točk v splošno enačbo ravnine, dobimo sistem dveh enačb. Če vzamemo nek koeficient v splošni enačbi ravnine enako ena, potem nam bo sistem dveh enačb omogočil določitev dveh neznanih koeficientov.

Če je ena od koordinat točke enaka nič, se koeficient, ki ustreza tej koordinati, vzame kot ena.

Če ima neka točka dve ničelni koordinati, se koeficient, ki ustreza eni od teh ničelnih koordinat, vzame za enoto.

Če sprejmemo a = 1, nam bo sistem dveh enačb omogočil določitev dveh neznanih koeficientov b in c:

Sistem teh enačb je lažje rešiti tako, da neko enačbo pomnožimo s takšnim številom, da so koeficienti za neko neznano jeklo enaki. Potem nam bo razlika enačb omogočila, da izključimo to neznanko, da določimo drugo neznanko. Zamenjava najdene neznanke v katero koli enačbo nam bo omogočila določitev druge neznanke.

1.30 Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke

Določimo koeficiente splošne enačbe ravnine

ax + by + cz + d = 0,

ki poteka skozi točke M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) in M ​​3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Točke ne smejo imeti dveh enakih koordinat.

Neznani 4 koeficienti a, b, c in d. Če nadomestimo koordinate treh točk v splošno enačbo ravnine, dobimo sistem treh enačb. Vzemite nek koeficient v splošni enačbi ravnine, ki je enak eni, potem vam bo sistem 3 enačb omogočil določitev 3 neznanih koeficientov. Običajno sprejeto a = 1, potem vam bo sistem 3 enačb omogočil določitev 3 neznanih koeficientov b, c in d:

Sistem enačb se najbolje reši z izločitvijo neznank (Gaussova metoda). Enačbe v sistemu lahko preuredite. Vsako enačbo je mogoče pomnožiti ali deliti s katerim koli faktorjem, ki ni nič. Dodamo lahko kateri koli dve enačbi in nastalo enačbo lahko zapišemo namesto katere koli od teh dveh dodanih enačb. Neznanke so izključene iz enačb tako, da pred njimi dobimo koeficient nič. V eni enačbi običajno ostane najnižja ena spremenljivka, ki je definirana. Najdeno spremenljivko nadomestimo v drugo enačbo od spodaj, v kateri običajno ostaneta 2 neznanki. Enačbe se rešujejo od spodaj navzgor in določijo se vsi neznani koeficienti.

Koeficienti so postavljeni pred neznanke, členi brez neznank pa so preneseni na desno stran enačb.

Zgornja vrstica običajno vsebuje enačbo, ki ima faktor 1 pred prvo ali katero koli neznanko, ali pa je celotna prva enačba deljena s faktorjem pred prvo neznanko. V tem sistemu enačb delimo prvo enačbo z y 1

Pred prvo neznanko smo dobili koeficient 1:

Za ponastavitev koeficienta pred prvo spremenljivko druge enačbe pomnožimo prvo enačbo z -y 2 , jo dodamo drugi enačbi in dobljeno enačbo zapišemo namesto druge enačbe. Prva neznanka v drugi enačbi bo izločena, ker

y 2 b - y 2 b = 0.

Podobno izločimo prvo neznanko v tretji enačbi tako, da prvo enačbo pomnožimo z -y 3 , jo dodamo tretji enačbi in nastalo enačbo zapišemo namesto tretje enačbe. Tudi prva neznanka v tretji enačbi bo izločena, ker

y 3 b - y 3 b = 0.

Podobno izključimo drugo neznanko v tretji enačbi. Sistem rešujemo od spodaj navzgor.

Naloga.

ax + by + cz + d = 0,

ki poteka skozi točke M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) in y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Dana ravnina je koordinatna ravnina Oyz.

Naloga. Določite splošno enačbo ravnine

ax + by + cz + d = 0,

ki poteka skozi točke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) in M ​​3 (0; 0; 1). Poiščite razdaljo od te ravnine do točke M 0 (10; -3; -7).

rešitev

Zgradimo podane točke v koordinatnem sistemu Oxyz.

Sprejmi a= 1. Če nadomestimo koordinate treh točk v splošno enačbo ravnine, dobimo sistem treh enačb

ℓ =

Spletne strani: 1 2 Vektorji v ravnini in prostoru (nadaljevanje)

Posvetovanja Andreja Georgijeviča Olševskega o Skype da.irk.en

Priprava študentov in šolarjev iz matematike, fizike, računalništva, šolarjev, ki želijo dobiti veliko točk (del C) in šibkih študentov za OGE (GIA) in izpit. Hkratno izboljšanje trenutne uspešnosti z razvojem spomina, razmišljanja, razumljive razlage zapletene, vizualne predstavitve predmetov. Poseben pristop do vsakega študenta. Priprave na olimpijade, zagotavljanje ugodnosti za sprejem. 15 let izkušenj na področju izboljšanja dosežkov učencev.

Višja matematika, algebra, geometrija, teorija verjetnosti, matematična statistika, linearno programiranje.

Jasna razlaga teorije, odprava vrzeli v razumevanju, metode poučevanja reševanja problemov, svetovanje pri pisanju seminarskih nalog, diplom.

Letalski, raketni in avtomobilski motorji. Hiperzvočni, ramjet, raketni, impulzno detonacijski, pulzirajoči, plinskoturbinski, batni motorji z notranjim zgorevanjem - teorija, zasnova, izračun, trdnost, konstrukcija, tehnologija izdelave. Termodinamika, toplotna tehnika, plinska dinamika, hidravlika.

Letalstvo, aeromehanika, aerodinamika, dinamika letenja, teorija, konstruiranje, aerohidromehanika. Ultralahka letala, ekranoplani, letala, helikopterji, rakete, križarke, zračne blazine, zračne ladje, propelerji - teorija, načrtovanje, izračun, trdnost, načrtovanje, tehnologija izdelave.

Generiranje, implementacija idej. Osnove znanstvenega raziskovanja, metode generiranja, izvajanja znanstvenih, inventivnih, poslovnih idej. Usposabljanje za odločanje znanstveni problemi, inventivne težave. Znanstvena, izumiteljska, pisateljska, inženirska ustvarjalnost. Postavitev, izbor, rešitev najvrednejših znanstvenih, inventivnih problemov, idej.

Objave rezultatov ustvarjalnosti. Kako napisati in objaviti znanstveni članek, prijaviti izum, napisati, izdati knjigo. Teorija pisanja, zagovor disertacij. Služenje z idejami, izumi. Svetovanje pri nastajanju izumov, pisanje prijav izumov, znanstvenih člankov, prijav izumov, knjig, monografij, disertacij. Soavtorstvo pri izumih, znanstvenih člankih, monografijah.

Teoretična mehanika (teormeh), trdnost materialov (sopromat), strojni deli, teorija mehanizmov in strojev (TMM), tehnologija inženirstva, tehnične discipline.

Teoretične osnove elektrotehnike (TOE), elektronika, osnove digitalne, analogne elektronike.

Analitična geometrija, opisna geometrija, inženirska grafika, risanje. Računalniška grafika, grafično programiranje, risbe v AutoCAD, NanoCAD, fotomontaža.

Logika, grafi, drevesa, diskretna matematika.

OpenOffice in LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makri, VBScript, Basic, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Izdelava programov, iger za osebne računalnike, prenosnike, mobilne naprave. Uporaba brezplačnih že pripravljenih programov, odprtokodnih motorjev.

Izdelava, umestitev, promocija, programiranje spletnih mest, spletne trgovine, zaslužek na spletnih mestih, spletno oblikovanje.

Informatika, uporabnik osebnega računalnika: besedila, preglednice, predstavitve, trening tipkanja 2 uri, baze podatkov, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, internet, omrežja, e-pošta.

Naprava, popravilo stacionarnih računalnikov in prenosnikov.

Video bloger, ustvarjanje, urejanje, objavljanje video posnetkov, video montaža, zaslužek na video blogih.

Izbira, doseganje cilja, načrtovanje.

Učenje zaslužka na internetu: bloger, video bloger, programi, spletne strani, spletna trgovina, članki, knjige itd.

Lahko podprete razvoj spletnega mesta, plačate svetovalne storitve Olshevsky Andrey Georgievich

15.10.17 Olševski Andrej GeorgijevičE-naslov:[e-pošta zaščitena]

1. Kaj je vektor?

2. Seštevanje vektorjev.

3. Enakost vektorjev.

4. Skalarni produkt dveh vektorjev in njegove lastnosti.

5. Lastnosti operacij na vektorjih.

6. Dokazovanja in reševanje problemov.

Eden od temeljni pojmi sodobna matematika sta vektor in njegova posplošitev - tenzor. Evolucija koncepta vektorja je bila izvedena zaradi široke uporabe tega koncepta na različnih področjih matematike, mehanike, pa tudi v tehnologiji.

Konec prejšnjega in začetek sedanjega stoletja je zaznamoval obsežen razvoj vektorskega računa in njegovih aplikacij. Nastala je vektorska algebra in vektorska analiza, splošna teorija vektorskega prostora. Te teorije so bile uporabljene pri konstrukciji posebne in splošne teorije relativnosti, ki imata izjemno pomembno vlogo v sodobni fiziki.

V skladu z zahtevami novega programa matematike je pojem vektor postal eden vodilnih pojmov pri šolskem pouku matematike.

Kaj je vektor? Nenavadno je, da odgovor na to vprašanje predstavlja določene težave. Obstajajo različni pristopi k opredelitvi pojma vektor; Poleg tega, tudi če se omejimo na elementarni geometrijski pristop k pojmu vektorja, ki je za nas tukaj najbolj zanimiv, potem bodo tudi takrat na ta pojem različni pogledi. Seveda, ne glede na definicijo, ki jo vzamemo, je vektor - z elementarnega geometrijskega vidika - geometrijski objekt, za katerega je značilna smer (tj. ravna črta, določena do vzporednosti in smer na njej) in dolžina. definicija je preveč splošna in ne povzroča specifičnih geometrijskih predstavitev. V skladu s to splošno definicijo lahko vzporedni prevod štejemo za vektor. Res bi lahko sprejeli takšno definicijo: "Vektor je vsak vzporedni prevod". Ta definicija je logično brezhibna in na njeni podlagi je mogoče zgraditi celotno teorijo dejanj na vektorje in razviti aplikacije te teorije. Vendar pa nas ta definicija, kljub svoji popolni konkretnosti, tudi tukaj ne more zadovoljiti, saj se nam ideja o vektorju kot geometrijski transformaciji zdi premalo jasna in daleč od fizičnih predstav o vektorskih količinah.

Torej, vektor imenovana družina vseh vzporednih med seboj, enako usmerjenih in enakih dolgih segmentov (slika 1).

Vektor je na risbah upodobljen kot odsek s puščico (tj. ni upodobljena celotna družina odsekov, ki je vektor, ampak samo eden od teh odsekov). Za označevanje vektorjev v knjigah in člankih se uporabljajo krepke latinske črke. a, b, c in tako naprej, v zvezkih in na tabli - latinične črke s pomišljajem na vrhu , Ista črka, vendar ne krepka, ampak svetla (in v zvezku in na tabli ista črka brez pomišljaja) označuje dolžino vektorja. Dolžina je včasih označena tudi z navpičnimi črtami - kot modul (absolutna vrednost) števila. Torej dolžina vektorja a označen z a ali jaz a I, v ročno napisanem besedilu pa dolžina vektorja a označen z a ali jaz a I. V zvezi s predstavitvijo vektorjev v obliki segmentov (slika 2) je treba zapomniti, da so konci segmenta, ki predstavlja vektor, neenaki: en konec segmenta na drugega.

Razlikovati med začetkom in koncem vektorja (natančneje segmenta, ki predstavlja vektor).

Pogosto je konceptu vektorja dana druga definicija: usmerjeni segment imenujemo vektor. V tem primeru velja, da so vektorji (tj. usmerjeni segmenti), ki imajo enako dolžino in isto smer (slika 3), enaki.

Za vektorje pravimo, da so enako usmerjeni, če so njihove polpremice enako usmerjene.

Seštevanje vektorjev.

Vse našteto še ne naredi koncepta vektorja dovolj smiselnega in uporabnega. Pojem vektor dobi večjo vsebino in bogato možnost uporabe, ko uvedemo nekakšno »geometrično aritmetiko« - aritmetiko vektorjev, ki nam omogoča, da vektorje seštevamo, odštevamo in nad njimi izvajamo vrsto drugih operacij. Pri tem ugotavljamo, da navsezadnje pojem števila postane zanimiv šele z uvedbo aritmetičnih operacij, ne pa sam po sebi.

Vsota vektorjev a in v s koordinatami 1, 2 in 1, 2 imenovan vektor z s koordinatami 1 + v 1, 2 + v 2, tiste. a(a 1; a 2) + v(v 1; v 2) = z(a 1 + v 1; a 2 + v 2).
Da bi dokazali komutativnost dodajanja vektorjev na ravnini, moramo upoštevati primer. a in v - vektorji (slika 5).
Pustiti

1. Zgradimo paralelogram OASV: AM II OB, VN II OA.

Za dokaz asociativnosti odmaknemo od poljubne točke O vektor OA = a, iz vektorja točke A AB = in in od točke do - vektor sonce = s. Potem imamo: AB + BC = AC.
od koder sledi enakost a + (v + z) = (a + b)+ str. Upoštevajte, da zgornji dokaz sploh ne uporablja risbe. To je tipično (z nekaj spretnosti) za reševanje problemov z uporabo vektorjev. Oglejmo si zdaj primer, ko vektorji a in v usmerjeni v nasprotnih smereh in imajo enake dolžine; take vektorje imenujemo nasprotni. Naše pravilo seštevanja vektorjev vodi do dejstva, da je vsota dveh nasprotnih vektorjev "vektor", ki ima ničelno dolžino in nima smeri; ta "vektor" je predstavljen z "odsekom ničelne dolžine", tj. pika. Toda to je tudi vektor, ki se imenuje nič in je označen s simbolom 0.

Vektorska enakost.