Šolarji se že na samem začetku učenja algebre soočijo z nalogo sestaviti graf funkcije in ga gradijo iz leta v leto. Začenši od grafa linearne funkcije, za katerega morate poznati samo dve točki, do parabole, ki zahteva že 6 točk, hiperbole in sinusnega vala. Vsako leto postanejo funkcije vse bolj zapletene in njihovih grafov ni več mogoče sestaviti s šablono, temveč je treba izvajati bolj zapletene študije z odpeljankami in limiti.
Ugotovimo, kako najti graf funkcije? Da bi to naredili, začnimo z najpreprostejšimi funkcijami, katerih grafi so narisani točko za točko, nato pa razmislimo o načrtu za izdelavo bolj zapletenih funkcij.
Grafiranje linearne funkcije
Za izdelavo najpreprostejših grafov uporabite tabelo funkcijskih vrednosti. Graf linearne funkcije je ravna črta. Poskusimo poiskati točke na grafu funkcije y=4x+5.
- Če želite to narediti, vzemimo dve poljubni vrednosti spremenljivke x, ju eno za drugo nadomestimo v funkcijo, poiščemo vrednost spremenljivke y in vse vnesemo v tabelo.
- Vzemite vrednost x=0 in jo nadomestite v funkciji namesto x - 0. Dobimo: y=4*0+5, to je y=5, to vrednost zapišite v tabelo pod 0. Podobno vzemite x= 0, dobimo y=4*1+5, y=9.
- Zdaj, če želite zgraditi graf funkcije, morate te točke narisati na koordinatno ravnino. Potem morate narisati ravno črto.
Grafiranje kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija je funkcija oblike y=ax 2 +bx +c, kjer je x spremenljivka, a,b,c so števila (a ni enako 0). Na primer: y=x 2, y=x 2 +5, y=(x-3) 2, y=2x 2 +3x+5.
Za konstruiranje najenostavnejše kvadratne funkcije y=x 2 se običajno vzame 5-7 točk. Vzemimo vrednosti za spremenljivko x: -2, -1, 0, 1, 2 in poiščemo vrednosti y na enak način kot pri izdelavi prvega grafa.
Graf kvadratne funkcije se imenuje parabola. Po konstruiranju grafov funkcij imajo učenci nove naloge, povezane z grafom.
Primer 1: poiščite absciso točke grafa funkcije y=x 2, če je ordinata 9. Za rešitev problema morate namesto y v funkcijo nadomestiti njeno vrednost 9. Dobimo 9=x 2 in rešimo ta enačba. x=3 in x=-3. To je razvidno tudi iz grafa funkcije.
Raziskovanje funkcije in njen izris
Če želite narisati grafe bolj zapletenih funkcij, morate izvesti več korakov, katerih cilj je preučevanje. Za to potrebujete:
- Poiščite domeno definicije funkcije. Domena definicije so vse vrednosti, ki jih lahko sprejme spremenljivka x. Tiste točke, kjer imenovalec postane 0 ali radikalni izraz postane negativen, je treba izključiti iz domene definicije.
- Nastavite, ali je funkcija soda ali liha. Spomnimo se, da je soda funkcija tista, ki izpolnjuje pogoj f(-x)=f(x). Njegov graf je simetričen glede na Oy. Funkcija bo liha, če izpolnjuje pogoj f(-x)=-f(x). V tem primeru je graf simetričen glede na izvor.
- Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi. Da bi našli absciso presečišča z osjo Ox, je potrebno rešiti enačbo f(x) = 0 (ordinata je enaka 0). Da bi našli ordinato presečišča z osjo Oy, je treba v funkciji namesto spremenljivke x nadomestiti 0 (abscisa je 0).
- Poiščite asimptote funkcije. Asiptota je ravna črta, ki se ji graf neomejeno približuje, vendar je nikoli ne prečka. Ugotovimo, kako najti asimptote grafa funkcije.
- Navpična asimptota premice x=a
- Horizontalna asimptota - premica y=a
- Poševna asimptota - premica oblike y=kx+b
- Poiščite ekstremne točke funkcije, intervale naraščanja in padanja funkcije. Poiščimo ekstremne točke funkcije. Če želite to narediti, morate poiskati prvi odvod in ga enačiti z 0. V teh točkah se lahko funkcija spremeni iz naraščajoče v padajočo. Določimo predznak odvoda na vsakem intervalu. Če je odvod pozitiven, potem graf funkcije raste, če je negativen, pa pada.
- Poiščite prevojne točke grafa funkcije, intervale konveksnosti navzgor in navzdol.
Iskanje prevojnih točk je zdaj lažje kot kdaj koli prej. Samo najti morate drugo izpeljanko in jo nato enačiti z nič. Nato najdemo predznak drugega odvoda na vsakem intervalu. Če je pozitiven, potem je graf funkcije konveksen navzdol, če je negativen, je konveksen navzgor.
Najprej poskusite najti domeno funkcije:
Vam je uspelo? Primerjajmo odgovore:
Je vse v redu? Dobro opravljeno!
Zdaj pa poskusimo najti obseg vrednosti funkcije:
Najden? Primerjajmo:
Razumem? Dobro opravljeno!
Ponovno delajmo z grafi, le da je zdaj malo bolj zapleteno - poiščite tako domeno definicije funkcije kot obseg vrednosti funkcije.
Kako najti domeno in obseg funkcije (napredno)
Evo, kaj se je zgodilo:
Mislim, da ste razumeli grafe. Zdaj pa poskusimo najti domeno definicije funkcije v skladu s formulami (če ne veste, kako to storiti, preberite razdelek o):
Vam je uspelo? Preverimo odgovori:
- , ker mora biti radikalni izraz večji ali enak nič.
- , ker ne morete deliti z nič in radikalni izraz ne more biti negativen.
- , saj za vse.
- , saj ne morete deliti z nič.
Vendar pa imamo še eno neodgovorjeno točko ...
Še enkrat bom ponovil definicijo in jo poudaril:
Ste opazili? Beseda "le" je zelo, zelo pomemben element naša definicija. Poskušal vam bom razložiti s prsti.
Recimo, da imamo funkcijo, definirano z ravno črto. . At, to vrednost nadomestimo v naše "pravilo" in dobimo to. Ena vrednost ustreza eni vrednosti. Lahko celo naredimo tabelo različnih vrednosti in to funkcijo narišemo v graf, da se o tem prepričamo sami.
"Glej! - pravite, "" se pojavi dvakrat!" Torej morda parabola ni funkcija? Ne, je!
Dejstvo, da se » « pojavi dvakrat, ni razlog, da bi paraboli očitali dvoumnost!
Dejstvo je, da smo pri preračunu prejeli eno igro. In pri obračunu z smo prejeli eno igro. Tako je, parabola je funkcija. Poglej graf:
Razumem? Če ne, je tukaj življenjski primer, ki je zelo daleč od matematike!
Recimo, da imamo skupino prosilcev, ki so se srečali med oddajo dokumentov, od katerih je vsak v pogovoru povedal, kje živi:
Strinjam se, da je povsem mogoče, da več fantov živi v enem mestu, vendar je nemogoče, da ena oseba živi v več mestih hkrati. To je kot logična predstavitev naše "parabole" - Več različnih X-jev ustreza isti igri.
Zdaj pa poglejmo primer, kjer odvisnost ni funkcija. Recimo, da so nam ti isti fantje povedali, za katere specialnosti so se prijavili:
Tukaj imamo popolnoma drugačno situacijo: ena oseba lahko enostavno predloži dokumente za eno ali več smeri. To je en element kompleti so dani v korespondenco več elementov množice. Oziroma to ni funkcija.
Preizkusimo vaše znanje v praksi.
Iz slik ugotovi, kaj je funkcija in kaj ne:
Razumem? In tukaj je odgovori:
- Funkcija je - B, E.
- Funkcija ni - A, B, D, D.
Sprašujete zakaj? Da, tukaj je razlog:
Na vseh slikah razen IN) in E) Več jih je za enega!
Prepričan sem, da lahko zdaj preprosto ločite funkcijo od ne-funkcije, poveste, kaj je argument in kaj je odvisna spremenljivka, ter določite obseg dovoljenih vrednosti argumenta in obseg definicije funkcije . Pojdimo na naslednji razdelek – kako nastaviti funkcijo?
Metode za določanje funkcije
Kaj mislite, kaj pomenijo besede? "nastavi funkcijo"? Tako je, to pomeni vsem pojasniti, kakšna je funkcija v tem primeru. govorimo o. Poleg tega razložite tako, da vas bodo vsi pravilno razumeli in bodo grafi funkcij, ki jih ljudje narišejo na podlagi vaše razlage, enaki.
Kako naj to storim? Kako nastaviti funkcijo? Najenostavnejša metoda, ki je bila že večkrat uporabljena v tem članku, je z uporabo formule. Napišemo formulo in tako, da vanjo vstavimo vrednost, izračunamo vrednost. In kot se spomnite, je formula zakon, pravilo, po katerem nam in drugemu postane jasno, kako se X spremeni v Y.
Običajno počnejo točno to - v nalogah vidimo že pripravljene funkcije, določene s formulami, vendar obstajajo tudi drugi načini za nastavitev funkcije, na katere vsi pozabijo, zato se vprašanje "kako drugače lahko nastavi funkcija?" pregrade. Razumejmo vse po vrsti in začnimo z analitično metodo.
Analitična metoda določanja funkcije
Analitična metoda je podajanje funkcije s formulo. To je najbolj univerzalna, celovita in nedvoumna metoda. Če imate formulo, potem veste absolutno vse o funkciji - iz nje lahko naredite tabelo vrednosti, lahko zgradite graf, določite, kje funkcija narašča in kje se zmanjšuje, na splošno jo preučite v celoti.
Razmislimo o funkciji. Kaj je razlika?
"Kaj to pomeni?" - vprašate. Zdaj bom razložil.
Naj vas spomnim, da se v zapisu izraz v oklepaju imenuje argument. In ta argument je lahko katerikoli izraz, ne nujno preprost. V skladu s tem, karkoli je argument (izraz v oklepaju), ga bomo namesto tega zapisali v izraz.
V našem primeru bo videti takole:
Oglejmo si še eno nalogo, povezano z analitično metodo podajanja funkcije, ki jo boste imeli na izpitu.
Poiščite vrednost izraza pri.
Prepričan sem, da ste bili sprva prestrašeni, ko ste videli tak izraz, vendar v tem ni popolnoma nič strašnega!
Vse je enako kot v prejšnjem primeru: karkoli je argument (izraz v oklepaju), ga bomo namesto tega zapisali v izraz. Na primer za funkcijo.
Kaj je treba storiti v našem primeru? Namesto tega morate napisati in namesto tega -:
skrajšajte nastali izraz:
To je vse!
Samostojno delo
Zdaj poskusite sami poiskati pomen naslednjih izrazov:
- , Če
- , Če
Vam je uspelo? Primerjajmo naše odgovore: Navajeni smo, da ima funkcija obliko
Tudi v naših primerih definiramo funkcijo točno na ta način, analitično pa je možno podati funkcijo npr. v implicitni obliki.
Poskusite zgraditi to funkcijo sami.
Vam je uspelo?
Takole sem ga zgradil.
Kakšno enačbo smo na koncu izpeljali?
Prav! Linearno, kar pomeni, da bo graf ravna črta. Naredimo tabelo, da ugotovimo, katere točke pripadajo naši premici:
Točno o tem smo govorili ... Eno ustreza več.
Poskusimo narisati, kaj se je zgodilo:
Je to, kar imamo, funkcija?
Tako je, ne! Zakaj? Poskusite odgovoriti na to vprašanje s pomočjo risbe. Kaj si dobil?
"Ker ena vrednost ustreza več vrednostim!"
Kakšen sklep lahko potegnemo iz tega?
Tako je, funkcije ni vedno mogoče eksplicitno izraziti in kar je »prikrito« kot funkcija, ni vedno funkcija!
Tabelarni način določanja funkcije
Kot že ime pove, je ta metoda preprost znak. Da Da. Kot tistega, ki sva ga ti in jaz že naredila. Na primer:
Tukaj ste takoj opazili vzorec - Y je trikrat večji od X. In zdaj naloga, da "zelo dobro premislite": ali menite, da je funkcija, podana v obliki tabele, enakovredna funkciji?
Ne govoriva dolgo, ampak narišiva!
torej. Funkcijo, ki jo določa ozadje, narišemo na naslednje načine:
Ali vidite razliko? Ni vse v označenih točkah! Poglejte si pobližje:
Ste ga zdaj videli? Ko definiramo funkcijo tabelarično, na grafu prikažemo le tiste točke, ki jih imamo v tabeli in premica (kot v našem primeru) poteka samo skozi njih. Ko funkcijo definiramo analitično, lahko vzamemo poljubne točke in naša funkcija ni omejena nanje. To je posebnost. Ne pozabite!
Grafična metoda konstruiranja funkcije
Grafična metoda konstruiranja funkcije ni nič manj priročna. Narišemo svojo funkcijo in drugo zainteresirana oseba lahko ugotovi, čemu je igra enaka za določen x itd. Med najpogostejšimi sta grafična in analitična metoda.
Tu pa se morate spomniti, o čem smo govorili na samem začetku - ni vsaka v koordinatnem sistemu narisana vijuga funkcija! Ali se spomniš? Za vsak slučaj bom tukaj kopiral definicijo funkcije:
Praviloma ljudje običajno imenujejo točno tri načine določanja funkcije, o katerih smo razpravljali - analitično (z uporabo formule), tabelarično in grafično, pri čemer popolnoma pozabimo, da je funkcijo mogoče opisati verbalno. Všečkaj to? Da, zelo preprosto!
Besedni opis funkcije
Kako ustno opisati funkcijo? Vzemimo naš nedavni primer - . Ta funkcija lahko opišemo kot "za vsako realno vrednost x ustreza njena trojna vrednost." To je vse. Nič zapletenega. Seveda boste ugovarjali - "obstajajo tako zapletene funkcije, ki jih je preprosto nemogoče določiti ustno!" Da, obstajajo takšne, vendar obstajajo funkcije, ki jih je lažje opisati ustno kot definirati s formulo. Na primer: "vsaka naravna vrednost x ustreza razliki med števkami, iz katerih je sestavljena, medtem ko se minuend šteje za največjo števko v zapisu števila." Zdaj pa poglejmo, kako naš besedni opis funkcije se izvajajo v praksi:
Največja številka v danem številu je minuend, potem:
Glavne vrste funkcij
Zdaj pa preidimo na najbolj zanimiv del - poglejmo glavne tipe funkcij, s katerimi ste delali/delate in jih boste delali v tečaju matematike v šoli in na fakulteti, torej jih tako rekoč spoznajmo in jih na kratko opišite. Preberite več o vsaki funkciji v ustreznem razdelku.
Linearna funkcija
Funkcija oblike kjer so realna števila.
Graf te funkcije je ravna črta, zato se konstruiranje linearne funkcije zmanjša na iskanje koordinat dveh točk.
Položaj premice na koordinatni ravnini je odvisen od kotnega koeficienta.
Obseg funkcije (tudi obseg veljavnih vrednosti argumentov) je .
Razpon vrednosti - .
Kvadratna funkcija
Funkcija oblike, kjer
Graf funkcije je parabola, ko so veje parabole usmerjene navzdol, ko so veje usmerjene navzgor.
Številne lastnosti kvadratne funkcije so odvisne od vrednosti diskriminante. Diskriminant se izračuna po formuli
Položaj parabole na koordinatni ravnini glede na vrednost in koeficient je prikazan na sliki:
Domena
Razpon vrednosti je odvisen od ekstrema dane funkcije (vrh parabole) in koeficienta (smer vej parabole)
Inverzna sorazmernost
Funkcija, podana s formulo, kjer je
Število imenujemo koeficient obratne sorazmernosti. Odvisno od vrednosti so veje hiperbole v različnih kvadratih:
Domena - .
Razpon vrednosti - .
POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE
1. Funkcija je pravilo, po katerem je vsak element množice povezan z enim samim elementom množice.
- - to je formula, ki označuje funkcijo, to je odvisnost ene spremenljivke od druge;
- - vrednost spremenljivke ali argument;
- - odvisna količina - se spremeni, ko se argument spremeni, to je v skladu s katero koli specifično formulo, ki odraža odvisnost ene količine od druge.
2. Veljavne vrednosti argumentov, ali domena funkcije, je tisto, kar je povezano z možnostmi, v katerih je funkcija smiselna.
3. Obseg funkcij- to so vrednosti, ki jih sprejme glede na sprejemljive vrednosti.
4. Funkcijo lahko nastavite na 4 načine:
- analitično (z uporabo formul);
- tabelarni;
- grafični
- besedni opis.
5. Glavne vrste funkcij:
- : , kjer so realna števila;
- : , Kje;
- : , Kje.
Funkcija gradnje
Ponujamo vam storitev za gradnjo grafov funkcij na spletu, katere vse pravice pripadajo podjetju Desmos. Uporabite levi stolpec za vnos funkcij. Vnesete lahko ročno ali z virtualno tipkovnico na dnu okna. Če želite povečati okno z grafom, lahko skrijete levi stolpec in navidezno tipkovnico.
Prednosti spletnega grafikona
- Vizualni prikaz vnesenih funkcij
- Grajenje zelo kompleksnih grafov
- Izdelava implicitno podanih grafov (na primer elipsa x^2/9+y^2/16=1)
- Možnost shranjevanja grafikonov in prejemanja povezave do njih, ki postane na voljo vsem na internetu
- Nadzor merila, barve črte
- Možnost izrisa grafov po točkah, z uporabo konstant
- Risanje več funkcijskih grafov hkrati
- Risanje v polarnih koordinatah (uporabite r in θ(\theta))
Z nami je preprosto sestaviti grafikone različnih zahtevnosti na spletu. Gradnja se izvede takoj. Storitev je potrebna za iskanje presečišč funkcij, za upodobitev grafov za nadaljnji premik v Wordov dokument kot ilustracije pri reševanju problemov in za analizo vedenjskih značilnosti funkcijskih grafov. Optimalen brskalnik za delo z grafikoni na tej spletni strani je Google Chrome. Pri uporabi drugih brskalnikov pravilno delovanje ni zagotovljeno.
znanje osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi nič manj pomembno kot poznavanje množilne tabele. So kot temelj, vse temelji na njih, vse se gradi iz njih in vse se spušča nanje.
V tem članku bomo našteli vse glavne osnovne funkcije, podali njihove grafe in podali brez zaključkov ali dokazov lastnosti osnovnih elementarnih funkcij po shemi:
- obnašanje funkcije na mejah definicijskega področja, navpične asimptote (po potrebi glej članek klasifikacija diskontinuitetnih točk funkcije);
- sodo in liho;
- intervali konveksnosti (konveksnost navzgor) in konkavnosti (konveksnost navzdol), prevojne točke (po potrebi glej članek konveksnost funkcije, smer konveksnosti, prevojne točke, pogoji konveksnosti in prevoja);
- poševne in vodoravne asimptote;
- singularne točke funkcij;
- posebne lastnosti nekaterih funkcij (npr. najmanjša pozitivna perioda trigonometričnih funkcij).
Če vas zanima ali, potem lahko obiščete te dele teorije.
Osnovne elementarne funkcije so: konstantna funkcija (konstanta), n-ti koren, potenčna funkcija, eksponentna, logaritemska funkcija, trigonometrične in inverzne trigonometrične funkcije.
Navigacija po straneh.
Stalna funkcija.
Konstantno funkcijo definiramo na množici vseh realnih števil s formulo , kjer je C neko realno število. Konstantna funkcija vsako realno vrednost neodvisne spremenljivke x poveže z enako vrednostjo odvisne spremenljivke y - vrednostjo C. Konstantno funkcijo imenujemo tudi konstanta.
Graf konstantne funkcije je ravna črta, vzporedna z osjo x in poteka skozi točko s koordinatami (0,C). Kot primer bomo prikazali grafe konstantnih funkcij y=5, y=-2 in, ki na spodnji sliki ustrezajo črni, rdeči in modri črti.
Lastnosti konstantne funkcije.
- Domena: celoten niz realnih števil.
- Konstantna funkcija je soda.
- Območje vrednosti: niz, sestavljen iz edninskega števila C.
- Konstantna funkcija je nenaraščujoča in nepadajoča (zato je konstantna).
- O konveksnosti in konkavnosti konstante nima smisla govoriti.
- Ni asimptot.
- Funkcija poteka skozi točko (0,C) koordinatne ravnine.
Koren n-te stopnje.
Oglejmo si osnovno elementarno funkcijo, ki je podana s formulo , kjer je n naravno število, večje od ena.
Koren n-te stopnje, n je sodo število.
Začnimo z n-to korensko funkcijo za sode vrednosti korenskega eksponenta n.
Kot primer je tukaj slika s slikami funkcijskih grafov 
in ustrezajo črnim, rdečim in modrim črtam.
Grafi korenskih funkcij sode stopnje imajo podoben videz za druge vrednosti eksponenta.
Lastnosti n-te korenske funkcije za sodo n.
Koren n, n je liho število.
Korenska funkcija n z lihim korenskim eksponentom n je definirana na celotni množici realnih števil. Na primer, tukaj so funkcijski grafi 
in ustrezajo črni, rdeči in modri krivulji.
Za druge lihe vrednosti korenskega eksponenta bodo grafi funkcij imeli podoben videz.
Lastnosti n-te korenske funkcije za liho n.
Funkcija moči.
Funkcija moči je podana s formulo oblike .
Oglejmo si obliko grafov potenčne funkcije in lastnosti potenčne funkcije v odvisnosti od vrednosti eksponenta.
Začnimo s potenčno funkcijo s celim eksponentom a. V tem primeru je videz grafov potenčnih funkcij in lastnosti funkcij odvisen od parnosti ali lihosti eksponenta, pa tudi od njegovega predznaka. Zato bomo najprej obravnavali potenčne funkcije za lihe pozitivne vrednosti eksponenta a, nato za sode pozitivne eksponente, nato za lihe negativne eksponente in na koncu za sode negativne a.
Lastnosti potenčnih funkcij z delnimi in iracionalnimi eksponenti (kot tudi vrsta grafov takšnih potenčnih funkcij) so odvisne od vrednosti eksponenta a. Upoštevali jih bomo, prvič, za a od nič do ena, drugič, za večje od ena, tretjič, za a od minus ena do nič, četrtič, za manj kot minus ena.
Na koncu tega razdelka bomo zaradi popolnosti opisali potenčno funkcijo z ničelnim eksponentom.
Potenčna funkcija z lihim pozitivnim eksponentom.
Oglejmo si potenčno funkcijo z lihim pozitivnim eksponentom, to je z a = 1,3,5,....
Spodnja slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta, – zelena črta. Za a=1 imamo linearna funkcija y=x.
Lastnosti potenčne funkcije z lihim pozitivnim eksponentom.
Potenčna funkcija s sodim pozitivnim eksponentom.
Oglejmo si potenčno funkcijo s sodim pozitivnim eksponentom, to je za a = 2,4,6,....
Kot primer podajamo grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta. Za a=2 imamo kvadratno funkcijo, katere graf je kvadratna parabola.
Lastnosti potenčne funkcije s sodim pozitivnim eksponentom.
Potenčna funkcija z lihim negativnim eksponentom.
Oglejte si grafe potenčne funkcije za lihe negativne vrednosti eksponenta, to je za a = -1, -3, -5,....
Slika prikazuje grafe funkcij moči kot primere - črna črta, - modra črta, - rdeča črta, - zelena črta. Za a=-1 imamo obratno sorazmernost, katerega graf je hiperbola.
Lastnosti potenčne funkcije z lihim negativnim eksponentom.
Potenčna funkcija s sodim negativnim eksponentom.
Preidimo na potenčno funkcijo za a=-2,-4,-6,….
Slika prikazuje grafe funkcij moči – črna črta, – modra črta, – rdeča črta.
Lastnosti potenčne funkcije s sodim negativnim eksponentom.
Potenčna funkcija z racionalnim ali iracionalnim eksponentom, katerega vrednost je večja od nič in manjša od ena.
Opomba!Če je a pozitiven ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval. Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo ravno tega stališča, to je, da bomo množico obravnavali kot domene definicije potenčnih funkcij z delnimi pozitivnimi eksponenti. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.
Oglejmo si potenčno funkcijo z racionalnim ali iracionalnim eksponentom a in .
Predstavimo grafe funkcij moči za a=11/12 (črna črta), a=5/7 (rdeča črta), (modra črta), a=2/5 (zelena črta).
Potenčna funkcija z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom, večjim od ena.
Oglejmo si potenčno funkcijo z necelim racionalnim ali iracionalnim eksponentom a in .
Predstavimo grafe potenčnih funkcij, podanih s formulami 
(črne, rdeče, modre in zelene črte).
Za druge vrednosti eksponenta a bodo grafi funkcije imeli podoben videz.
Lastnosti potenčne funkcije pri .
Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki je večji od minus ena in manjši od nič.
Opomba!Če je a negativen ulomek z lihim imenovalcem, potem nekateri avtorji menijo, da je domena definicije potenčne funkcije interval 
. Določeno je, da je eksponent a nezmanjšljiv ulomek. Zdaj avtorji številnih učbenikov o algebri in načelih analize NE DEFINIRAJO funkcij moči z eksponentom v obliki ulomka z lihim imenovalcem za negativne vrednosti argumenta. Držali se bomo natanko tega stališča, to je, da bomo domene definicije potenčnih funkcij z delno delno negativnimi eksponenti obravnavali kot množico oz. Priporočamo, da učenci izvejo mnenje vašega učitelja o tej subtilni točki, da se izognete nesoglasjem.
Preidimo k funkciji moči, kgod.
Da bi imeli dobro predstavo o obliki grafov funkcij moči za , podajamo primere grafov funkcij 
(črna, rdeča, modra in zelena krivulja).
Lastnosti potenčne funkcije z eksponentom a, .
Potenčna funkcija z realnim eksponentom, ki ni celo število in je manjši od minus ena.
Navedimo primere grafov funkcij moči za 
, so upodobljene s črno, rdečo, modro in zeleno črto.
Lastnosti potenčne funkcije z necelim negativnim eksponentom, manjšim od minus ena.
Ko je a = 0, imamo funkcijo - to je ravna črta, iz katere je točka (0;1) izključena (dogovorjeno je bilo, da izrazu 0 0 ne pripisujemo nobenega pomena).
Eksponentna funkcija.
Ena glavnih elementarnih funkcij je eksponentna funkcija.
Graf eksponentne funkcije, kjer in traja drugačne vrste odvisno od vrednosti osnove a. Ugotovimo to.
Najprej razmislite o primeru, ko ima osnova eksponentne funkcije vrednost od nič do ena, to je .
Kot primer podajamo grafe eksponentne funkcije za a = 1/2 – modra črta, a = 5/6 – rdeča črta. Grafi eksponentne funkcije imajo podoben videz za druge vrednosti baze iz intervala.
Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, manjšo od ena.
Preidimo na primer, ko je osnova eksponentne funkcije večja od ena, to je .
Za ponazoritev podajamo grafe eksponentnih funkcij - modra črta in - rdeča črta. Za druge vrednosti baze, večje od ena, bodo grafi eksponentne funkcije imeli podoben videz.
Lastnosti eksponentne funkcije z osnovo, večjo od ena.
Logaritemska funkcija.
Naslednja osnovna elementarna funkcija je logaritemska funkcija, kjer je , . Logaritemska funkcija je definirana samo za pozitivne vrednosti argumenta, to je za.
Graf logaritemske funkcije ima različne oblike, odvisno od vrednosti osnove a.
Začnimo s primerom, ko.
Kot primer podajamo grafe logaritemske funkcije za a = 1/2 – modra črta, a = 5/6 – rdeča črta. Za druge vrednosti osnove, ki ne presegajo ene, bodo imeli grafi logaritemske funkcije podoben videz.
Lastnosti logaritemske funkcije z osnovo, manjšo od ena.
Preidimo na primer, ko je osnova logaritemske funkcije večja od ena ().
Pokažimo grafe logaritemskih funkcij - modra črta, - rdeča črta. Za druge vrednosti baze, večje od ena, bodo grafi logaritemske funkcije imeli podoben videz.
Lastnosti logaritemske funkcije z osnovo, večjo od ena.
Trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafi.
Vse trigonometrične funkcije (sinus, kosinus, tangens in kotangens) spadajo med osnovne elementarne funkcije. Zdaj si bomo ogledali njihove grafe in našteli njihove lastnosti.
Trigonometrične funkcije imajo koncept pogostost(ponovitev funkcijskih vrednosti za različne vrednosti argumentov, ki se med seboj razlikujejo po obdobju 
, kjer je T perioda), zato je bila na seznam lastnosti trigonometričnih funkcij dodana postavka "najmanjše pozitivno obdobje". Prav tako bomo za vsako trigonometrično funkcijo navedli vrednosti argumenta, pri katerih ustrezna funkcija izgine.
Zdaj pa se lotimo vseh trigonometričnih funkcij po vrstnem redu.
Sinusna funkcija y = sin(x) .
Narišimo graf sinusne funkcije, imenujemo ga "sinusni val".
Lastnosti sinusne funkcije y = sinx.
Kosinusna funkcija y = cos(x) .
Graf kosinusne funkcije (imenovane "kosinus") izgleda takole:
Lastnosti kosinusne funkcije y = cosx.
Tangentna funkcija y = tan(x) .
Graf funkcije tangente (imenovane "tangentoid") izgleda takole:
Lastnosti tangentne funkcije y = tanx.
Kotangens funkcije y = ctg(x) .
Narišimo graf funkcije kotangens (imenuje se "kotangentoid"):
Lastnosti funkcije kotangens y = ctgx.
Inverzne trigonometrične funkcije, njihove lastnosti in grafi.
Inverzne trigonometrične funkcije (ark sinus, ark kosinus, ark tangens in ark kotangens) so osnovne elementarne funkcije. Pogosto se zaradi predpone "lok" inverzne trigonometrične funkcije imenujejo ločne funkcije. Zdaj si bomo ogledali njihove grafe in našteli njihove lastnosti.
Arkus sinusna funkcija y = arcsin(x) .
Narišimo funkcijo arkusina:
Lastnosti funkcije arkotangensa y = arcctg(x) .Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: Proc. za 10-11 razrede. splošne izobraževalne ustanove.
- Vygodsky M.Ya. Priročnik za osnovno matematiko.
- Novoselov S.I. Algebra in elementarne funkcije.
- Tumanov S.I. Elementarna algebra. Priročnik za samoizobraževanje.
1. Delna linearna funkcija in njen graf
Funkcijo v obliki y = P(x) / Q(x), kjer sta P(x) in Q(x) polinoma, imenujemo ulomljena racionalna funkcija.
Verjetno ste že seznanjeni s konceptom racionalnih števil. Prav tako racionalne funkcije so funkcije, ki jih lahko predstavimo kot kvocient dveh polinomov.
Če je ulomna racionalna funkcija kvocient dveh linearnih funkcij - polinomov prve stopnje, tj. funkcijo oblike
y = (ax + b) / (cx + d), potem se imenuje frakcijski linearni.
Upoštevajte, da je v funkciji y = (ax + b) / (cx + d) c ≠ 0 (sicer funkcija postane linearna y = ax/d + b/d) in da je a/c ≠ b/d (sicer funkcija funkcija je konstantna). Funkcija linearnega ulomka je definirana za vsa realna števila, razen za x = -d/c. Grafi delnih linearnih funkcij se po obliki ne razlikujejo od grafa y = 1/x, ki ga poznate. Imenuje se krivulja, ki je graf funkcije y = 1/x hiperbola. Z neomejenim naraščanjem absolutne vrednosti x funkcija y = 1/x absolutno neomejeno pada in obe veji grafa se približujeta abscisi: desna od zgoraj, leva od spodaj. Premice, h katerim se približujejo veje hiperbole, se imenujejo njene asimptote.
Primer 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
rešitev.
Izberimo cel del: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Zdaj je enostavno videti, da je graf te funkcije dobljen iz grafa funkcije y = 1/x z naslednjimi transformacijami: premik za 3 enotske segmente v desno, raztezanje vzdolž osi Oy 7-krat in premik za 2 segmente enote navzgor.
Vsak ulomek y = (ax + b) / (cx + d) lahko zapišemo na podoben način, pri čemer poudarimo »celo število«. Posledično so grafi vseh delnih linearnih funkcij hiperbole, na različne načine premaknjene vzdolž koordinatnih osi in raztegnjene vzdolž osi Oy.
Če želite zgraditi graf katere koli poljubne delno-linearne funkcije, sploh ni potrebno transformirati ulomka, ki definira to funkcijo. Ker vemo, da je graf hiperbola, bo dovolj, da poiščemo premice, ki se jim približujejo njene veje - asimptoti hiperbole x = -d/c in y = a/c.
Primer 2.
Poiščite asimptote grafa funkcije y = (3x + 5)/(2x + 2).
rešitev.
Funkcija ni definirana, pri x = -1. To pomeni, da premica x = -1 služi kot navpična asimptota. Da bi našli vodoravno asimptoto, ugotovimo, čemu se približajo vrednosti funkcije y(x), ko se argument x poveča v absolutni vrednosti.
Če želite to narediti, delite števec in imenovalec ulomka z x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Pri x → ∞ bo ulomek težil k 3/2. To pomeni, da je vodoravna asimptota ravna črta y = 3/2.
Primer 3.
Narišite graf funkcije y = (2x + 1)/(x + 1).
rešitev.
Izberimo "cel del" ulomka:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Zdaj lahko vidimo, da je graf te funkcije dobljen iz grafa funkcije y = 1/x z naslednjimi transformacijami: premik za 1 enoto v levo, simetričen prikaz glede na Ox in premik za 2 enotska segmenta navzgor vzdolž osi Oy.
Domena D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Območje vrednosti E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Presečišča z osemi: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkcija narašča na vsakem intervalu definirane domene.
Odgovor: Slika 1.
2. Ulomljena racionalna funkcija
Razmislite o ulomljeni racionalni funkciji oblike y = P(x) / Q(x), kjer sta P(x) in Q(x) polinoma višje stopnje od prve.
Primeri takih racionalnih funkcij:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ali y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Če funkcija y = P(x) / Q(x) predstavlja količnik dveh polinomov stopnje, višje od prvega, bo njen graf praviloma bolj zapleten in ga je včasih težko natančno sestaviti. , z vsemi podrobnostmi. Vendar pa je pogosto dovolj, da uporabimo tehnike, podobne tistim, ki smo jih že predstavili zgoraj.
Naj bo ulomek pravi ulomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Očitno lahko graf ulomke racionalne funkcije dobimo kot vsoto grafov elementarnih ulomkov.
Risanje grafov ulomkov racionalnih funkcij
Razmislimo o več načinih za izdelavo grafov delne racionalne funkcije.
Primer 4.
Nariši graf funkcije y = 1/x 2 .
rešitev.
Graf funkcije y = x 2 uporabimo za sestavo grafa y = 1/x 2 in uporabimo tehniko »deljenja« grafov.
Domena D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Območje vrednosti E(y) = (0; +∞).
Ni presečišč z osemi. Funkcija je enakomerna. Narašča za vse x iz intervala (-∞; 0), zmanjšuje za x od 0 do +∞.
Odgovor: Slika 2.
Primer 5.
Graf funkcije y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
rešitev.
Domena D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Tu smo uporabili tehniko faktorizacije, redukcije in redukcije na linearno funkcijo.
Odgovor: Slika 3.
Primer 6.
Narišite graf funkcije y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
rešitev.
Definicijsko področje je D(y) = R. Ker je funkcija soda, je graf simetričen glede na ordinato. Preden sestavimo graf, ponovno transformirajmo izraz in označimo celoten del:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Upoštevajte, da je izolacija celega dela v formuli frakcijske racionalne funkcije ena glavnih pri konstruiranju grafov.
Če je x → ±∞, potem je y → 1, tj. premica y = 1 je vodoravna asimptota.
Odgovor: Slika 4.
Primer 7.
Oglejmo si funkcijo y = x/(x 2 + 1) in poskušajmo natančno najti njeno največjo vrednost, tj. najvišja točka na desni polovici grafa. Za natančno sestavo tega grafa današnje znanje ni dovolj. Očitno se naša krivulja ne more "dvigniti" zelo visoko, ker imenovalec hitro začne »prehitevati« števec. Poglejmo, ali je lahko vrednost funkcije enaka 1. Za to moramo rešiti enačbo x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ta enačba nima pravih korenin. To pomeni, da je naša predpostavka napačna. Če želite najti največjo vrednost funkcije, morate ugotoviti, pri katerem največjem A bo enačba A = x/(x 2 + 1) imela rešitev. Zamenjajmo prvotno enačbo s kvadratno: Ax 2 – x + A = 0. Ta enačba ima rešitev, ko je 1 – 4A 2 ≥ 0. Od tod najdemo največjo vrednost A = 1/2. 
Odgovor: slika 5, max y(x) = ½.
Imate še vprašanja? Ne veste, kako prikazati funkcije?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.