Kompleksni integrali

Ta članek zaključuje temo nedoločenih integralov in vključuje integrale, za katere menim, da so precej težki. Lekcija je nastala na večkratno željo obiskovalcev, ki so izrazili željo, da bi se na strani analizirali težji primeri.

Predpostavlja se, da je bralec tega besedila dobro pripravljen in zna uporabiti osnovne tehnike integracije. Tebani in ljudje, ki niso preveč prepričani v integrale, naj se obrnejo na prvo lekcijo - Nedoločen integral. Primeri rešitev kjer se lahko naučiš teme skoraj iz nič. Bolj izkušeni študenti se lahko seznanijo s tehnikami in metodami integracije, ki jih v mojih člankih še nisem srečal.

Katere integrale bomo upoštevali?

Najprej obravnavamo integrale s koreninami, za rešitev katerih zaporedno uporabljamo variabilna substitucija in integracija po delih. To pomeni, da sta v enem primeru dve metodi združeni hkrati. In še več.

Nato se bomo seznanili z zanimivim in izvirnim metoda redukcije integrala nase. Na ta način se ne reši tako malo integralov.

Tretja številka programa bodo integrali kompleksnih ulomkov, ki so v prejšnjih člankih leteli mimo blagajne.

Četrtič, analizirani bodo dodatni integrali iz trigonometričnih funkcij. Zlasti obstajajo metode, ki se izogibajo dolgotrajni univerzalni trigonometrični zamenjavi.

(2) V integrandu delimo števec z imenovalcem člen za členom.

(3) Uporabimo lastnost linearnosti nedoločenega integrala. V zadnjem integralu takoj funkcijo spravimo pod znak diferenciala.

(4) Vzamemo preostale integrale. Upoštevajte, da lahko uporabite oklepaje v logaritmu in ne v modulu, ker .

(5) Izvedemo obratno zamenjavo, tako da izrazimo iz neposredne zamenjave "te":

Mazohistični učenci lahko diferencirajo odgovor in dobijo izvirni integrand, kot sem pravkar naredil. Ne, ne, preveril sem v pravem smislu =)

Kot lahko vidite, je bilo med reševanjem treba uporabiti celo več kot dve metodi reševanja, zato za obravnavo takšnih integralov potrebujete samozavestno integracijsko znanje in ne najmanjše izkušnje.

V praksi je seveda pogostejši kvadratni koren, tukaj so trije primeri za neodvisna odločitev:

Primer 2

Poiščite nedoločen integral

Primer 3

Poiščite nedoločen integral

Primer 4

Poiščite nedoločen integral

Ti primeri so istovrstni, zato bo popolna rešitev na koncu članka samo za 2. primer, v primerih 3-4 pa en odgovor. Katero zamenjavo uporabiti na začetku odločitev, mislim, da je očitno. Zakaj sem izbral isto vrsto primerov? Pogosto najdemo v svojih vlogah. Pogosteje morda samo nekaj podobnega .

Vendar ne vedno, ko je koren linearne funkcije pod arktangensom, sinusom, kosinusom, eksponentom in drugimi funkcijami, je treba uporabiti več metod hkrati. V številnih primerih je mogoče "enostavno izstopiti", to je, da takoj po zamenjavi dobimo preprost integral, ki se vzame elementarno. Najlažja izmed zgoraj predlaganih nalog je primer 4, v katerem po zamenjavi dobimo razmeroma enostaven integral.

Metoda redukcije integrala nase

Pametna in lepa metoda. Oglejmo si klasike žanra:

Primer 5

Poiščite nedoločen integral

Pod korenom je kvadratni binom in pri poskusu integracije tega primera lahko čajnik trpi ure in ure. Tak integral je vzet po delih in reduciran sam nase. Načeloma ni težko. Če veš kako.

Označimo obravnavani integral z latinično črko in začnemo reševanje:

Integracija po delih:

(1) Pripravimo integrand za člen za člen.

(2) Integrandski člen delimo za členom. Morda vsi ne razumejo, bom podrobneje napisal:

(3) Uporabimo lastnost linearnosti nedoločenega integrala.

(4) Vzamemo zadnji integral ("dolg" logaritem).

Zdaj pa poglejmo sam začetek rešitve:

In še za konec:

Kaj se je zgodilo? Zaradi naših manipulacij se je integral reduciral nase!

Izenačite začetek in konec:

Prestopimo na levo stran s spremembo predznaka:

In porušimo dvojko na desno stran. Kot rezultat:

Konstanto bi, strogo gledano, morali dodati že prej, vendar sem jo dodal na koncu. Močno priporočam, da preberete, kakšna je resnost tukaj:

Opomba: Natančneje, končna faza rešitve izgleda takole:

Torej:

Konstanto lahko preimenujete z . Zakaj lahko preimenuješ? Ker še traja kaj vrednosti in v tem smislu ni razlike med konstantami in.
Kot rezultat:

Podoben trik s stalnim preimenovanjem se pogosto uporablja v diferencialne enačbe. In tam bom strog. In tukaj si takšne svoboščine dopuščam samo zato, da vas ne bi zmedel z nepotrebnimi stvarmi in se osredotočil na sam način integracije.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral

Še en tipičen integral za neodvisno rešitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Razlika z odgovorom prejšnjega primera bo!

Če je pod kvadratnim korenom kvadratni trinom, potem se rešitev v vsakem primeru zmanjša na dva analizirana primera.

Na primer, upoštevajte integral . Vse, kar morate storiti, je vnaprej izberite polni kvadrat:
.
Nato se izvede linearna zamenjava, ki obvlada "brez posledic":
, kar ima za posledico integral . Nekaj ​​znanega, kajne?

Ali ta primer s kvadratnim binomom:
Izbira polnega kvadrata:
In po linearni zamenjavi dobimo integral , ki ga prav tako rešuje že obravnavani algoritem.

Razmislite o dveh bolj tipičnih primerih redukcije integrala nase:
je integral eksponenta, pomnoženega s sinusom;
je integral eksponenta, pomnoženega s kosinusom.

Pri navedenih integralih po delih boste morali integrirati že dvakrat:

Primer 7

Poiščite nedoločen integral

Integrand je eksponent, pomnožen s sinusom.

Dvakrat integriramo po delih in reduciramo integral nase:

Zaradi dvojne integracije po delih se integral reducira nase. Izenačite začetek in konec rešitve:

Prestavimo se na levo stran s spremembo predznaka in izrazimo svoj integral:

pripravljena Na poti je zaželeno česati desno stran, tj. vzemite eksponent iz oklepajev, sinus in kosinus pa postavite v oklepaje v »lepem« vrstnem redu.

Zdaj pa se vrnimo na začetek primera oziroma na integracijo po delih:

Kajti določili smo razstavljavca. Postavlja se vprašanje, ali je treba eksponent vedno označiti z ? Ni potrebno. Pravzaprav v obravnavanem integralu v osnovi ni važno, za kaj označiti, bi lahko šli drugače:

Zakaj je to mogoče? Ker se eksponent spremeni vase (pri diferenciranju in integriranju), se sinus in kosinus medsebojno spremenita drug v drugega (spet tako pri diferenciranju kot pri integriranju).

To pomeni, da je mogoče označiti tudi trigonometrično funkcijo. Toda v obravnavanem primeru je to manj racionalno, saj se bodo pojavili ulomki. Če želite, lahko ta primer poskusite rešiti na drugi način, odgovori morajo biti enaki.

Primer 8

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Preden se odločite, razmislite, kaj je v tem primeru bolj donosno označiti za eksponentno ali trigonometrično funkcijo? Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In seveda ne pozabite, da je večino odgovorov v tej lekciji dokaj enostavno preveriti z razlikovanjem!

Primeri niso bili najtežji. V praksi so pogostejši integrali, kjer je konstanta tako v eksponentu kot v argumentu trigonometrične funkcije, na primer: . Marsikdo se bo moral zamotiti v takšnem integralu, tudi sam se velikokrat zamotim. Dejstvo je, da je v raztopini velika verjetnost pojava ulomkov in zaradi nepazljivosti je zelo enostavno nekaj izgubiti. Poleg tega obstaja velika verjetnost napake v znakih, upoštevajte, da je v eksponentu znak minus, kar predstavlja dodatne težave.

Na končni stopnji se pogosto izkaže nekaj takega:

Tudi na koncu rešitve bodite izjemno previdni in pravilno ravnajte z ulomki:

Integracija kompleksnih ulomkov

Počasi se približujemo ekvatorju lekcije in začnemo obravnavati integrale ulomkov. Še enkrat, niso vsi super zapleteni, samo zaradi enega ali drugega razloga so bili primeri v drugih člankih malo »izven teme«.

Nadaljevanje teme korenin

Primer 9

Poiščite nedoločen integral

V imenovalcu pod korenom je kvadratni trinom plus zunaj korenskega "priveska" v obliki "X". Integral te oblike se reši s standardno zamenjavo.

Odločamo se:

Zamenjava tukaj je preprosta:

Pogled na življenje po zamenjavi:

(1) Po zamenjavi člene pod korenom reduciramo na skupni imenovalec.
(2) Poberemo ga izpod korenine.
(3) Števec in imenovalec zmanjšamo za . Hkrati sem pod korenom preuredil izraze v priročnem vrstnem redu. Z nekaj izkušnjami lahko korake (1), (2) preskočite tako, da komentirana dejanja izvedete ustno.
(4) Nastali integral, kot se spomnite iz lekcije Integracija nekaterih ulomkov, je rešeno način izbire polnega kvadrata. Izberite polni kvadrat.
(5) Z integracijo dobimo navaden "dolg" logaritem.
(6) Izvedemo obratno zamenjavo. Če na začetku , potem nazaj: .
(7) Končno dejanje je usmerjeno v prečesavanje rezultata: pod korenom izraze spet spravimo na skupni imenovalec in jih vzamemo izpod korena.

Primer 10

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Tu je edinemu x dodana konstanta in zamenjava je skoraj enaka:

Edina stvar, ki jo je treba narediti dodatno, je izraz "x" iz zamenjave:

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Včasih je lahko v takem integralu pod korenom kvadratni binom, to ne spremeni načina reševanja rešitve, celo bolj preprosto bo. Občutite razliko:

Primer 11

Poiščite nedoločen integral

Primer 12

Poiščite nedoločen integral

Kratke rešitve in odgovori na koncu lekcije. Opozoriti je treba, da je primer 11 natančen binomski integral, katerega metoda rešitve je bila obravnavana v lekciji Integrali iracionalnih funkcij.

Integral nerazgradljivega polinoma 2. stopnje na stopnjo

(polinom v imenovalcu)

Redkejša oblika integrala, ki pa se kljub temu pojavlja v praktičnih primerih.

Primer 13

Poiščite nedoločen integral

A vrnimo se k primeru s srečno številko 13 (odkrito povedano, nisem uganil). Tudi ta integral je iz kategorije tistih, s katerimi lahko kar precej trpiš, če ne znaš reševati.

Rešitev se začne z umetno preobrazbo:

Mislim, da vsi že razumejo, kako razdeliti števec na imenovalec po izrazih.

Nastali integral se vzame v delih:

Za integral oblike (je naravno število) smo izpeljali ponavljajoče se formula znižanja:
, Kje je integral nižje stopnje.

Preverimo veljavnost te formule za rešeni integral.
V tem primeru: , , uporabimo formulo:

Kot vidite, so odgovori enaki.

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam". Raztopina vzorca uporablja zgornjo formulo dvakrat zaporedoma.

Če je pod diplomo nerazgradljivo kvadratni trinom, potem se rešitev reducira na binom z ekstrakcijo polnega kvadrata, na primer:

Kaj pa, če je v števcu dodaten polinom? V tem primeru se uporabi metoda nedoločenih koeficientov, integrand pa se razširi v vsoto ulomkov. Toda v moji praksi takega primera nikoli srečal, zato sem ta primer v članku preskočil Integrali ulomljene racionalne funkcije, bom zdaj preskočil. Če se tak integral še vedno pojavi, glejte učbenik - tam je vse preprosto. Ne zdi se mi smiselno vključiti materiala (tudi preprostega), katerega verjetnost srečanja se nagiba k ničli.

Integracija kompleksnih trigonometričnih funkcij

Pridevnik "težko" je za večino primerov spet v veliki meri pogojen. Začnimo s tangentami in kotangensi pri velikih potencah. Z vidika metode reševanja tangensa in kotangensa sta skoraj enaka, zato bom več govoril o tangensu, kar pomeni, da prikazana metoda reševanja integrala velja tudi za kotangens.

V zgornji lekciji smo si ogledali univerzalna trigonometrična zamenjava za reševanje določene vrste integralov trigonometričnih funkcij. Pomanjkljivost univerzalne trigonometrične substitucije je, da njena uporaba pogosto vodi do okornih integralov s težkimi izračuni. In v nekaterih primerih se je mogoče izogniti univerzalni trigonometrični zamenjavi!

Razmislite o drugem kanoničnem primeru, integralu enote, deljenem s sinusom:

Primer 17

Poiščite nedoločen integral

Tukaj lahko uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo in dobite odgovor, vendar obstaja bolj racionalen način. Zagotovil bom celovito rešitev s komentarji za vsak korak:

(1) Za sinus dvojnega kota uporabljamo trigonometrično formulo.
(2) Izvedemo umetno transformacijo: V imenovalcu delimo in pomnožimo z .
(3) Po znani formuli v imenovalcu spremenimo ulomek v tangento.
(4) Funkcijo pripeljemo pod znak diferenciala.
(5) Vzamemo integral.

Nekaj ​​preprostih primerov, ki jih lahko rešite sami:

Primer 18

Poiščite nedoločen integral

Namig: Prvi korak je uporaba formule za zmanjšanje in previdno izvajajte dejanja, podobna prejšnjemu primeru.

Primer 19

Poiščite nedoločen integral

No, to je zelo preprost primer.

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Mislim, da zdaj nihče ne bo imel težav z integrali:
in tako naprej.

Kakšna je ideja za metodo? Ideja je uporabiti transformacije, trigonometrične formule za organizacijo samo tangent in odvod tangente v integrandu. to je pogovarjamo se glede zamenjave: . V primerih 17–19 smo dejansko uporabili to zamenjavo, vendar so bili integrali tako preprosti, da je bilo to izvedeno z enakovrednim dejanjem – s postavitvijo funkcije pod diferencialni predznak.

Podobno sklepanje, kot sem že omenil, lahko izvedemo za kotangens.

Obstaja tudi formalni predpogoj za uporabo zgornje zamenjave:

Vsota potenc kosinusa in sinusa je negativno celo SODNO število, Na primer:

za integral pa celo negativno SODO število.

! Opomba : če integrand vsebuje SAMO sinus ali SAMO kosinus, potem je integral vzet sod z negativno liho stopnjo (najpreprostejši primeri so v primerih št. 17, 18).

Razmislite o nekaj bolj pomembnih nalogah za to pravilo:

Primer 20

Poiščite nedoločen integral

Vsota stopenj sinusa in kosinusa: 2 - 6 \u003d -4 - negativno celo SODNO število, kar pomeni, da je integral mogoče zmanjšati na tangente in njegov derivat:

(1) Preoblikujemo imenovalec.
(2) Po znani formuli dobimo .
(3) Preoblikujemo imenovalec.
(4) Uporabljamo formulo .
(5) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(6) Izvedemo zamenjavo. Izkušenejši študenti morda ne bodo izvedli zamenjave, vendar je vseeno bolje, da tangento zamenjate z eno črko - manj je nevarnosti zmede.

Primer 21

Poiščite nedoločen integral

To je primer "naredi sam".

Čakaj, prvenstveni krogi se začenjajo =)

Pogosto je v integrandu "mešanica":

Primer 22

Poiščite nedoločen integral

Ta integral na začetku vsebuje tangento, ki takoj nakaže že znano misel:

Umetno preobrazbo bom pustil na samem začetku in ostale korake brez komentarja, saj je bilo že vse povedano zgoraj.

Nekaj ​​kreativnih primerov za samostojno rešitev:

Primer 23

Poiščite nedoločen integral

Primer 24

Poiščite nedoločen integral

Da, v njih seveda lahko znižate stopnje sinusa, kosinusa, uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo, vendar bo rešitev veliko učinkovitejša in krajša, če jo narišemo skozi tangente. Celotna rešitev in odgovori na koncu lekcije

Ste iskali x koren iz x antiderivat? . Podrobna rešitev z opisom in razlagami vam bo pomagala pri še tako zahtevni nalogi in integral iz korena x ni izjema. Pomagali vam bomo pri pripravi na domače naloge, teste, olimpijade, pa tudi na vpis na univerzo. In ne glede na primer, ne glede na to, katero matematično poizvedbo vnesete, že imamo rešitev. Na primer, "x je koren x-ove antiizpeljave".

Uporaba različnih matematičnih problemov, kalkulatorjev, enačb in funkcij je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Matematiko je človek uporabljal že od pradavnine in od takrat se je njena uporaba le še povečevala. Vendar zdaj znanost ne miruje in lahko uživamo v sadovih njenih dejavnosti, kot je na primer spletni kalkulator, ki lahko rešuje probleme, kot so x koren iz x protiodvod, integral x korena, integral x korena, kvadrat integralni korenski integral, korenski integral od 1 x 2, korenski integral od x, integralni koren od x 2 1, integralni koren od x, integral od korena, integral od x, integral od kvadratnega korena, integral od korena, integral od korena od x, integrali s koreni, koren iz x integral, koren iz x protiodvod, koren iz x integral, koren iz x antiizvod, protiizvod 3 koren iz x, protiizvod iz x koren iz x, protiizvod iz korena x, protiizvod iz korena x, protiizvod koren iz x, prvotni koren iz x, primitiva iz korena, primitiva iz korena x, primitiva iz korena iz x, primitiva iz korena, primitiva iz korena iz x, primitiva iz korena x iz x. Na tej strani boste našli kalkulator, ki vam bo pomagal rešiti katero koli vprašanje, vključno s korenom x iz x protiizpeljave. (na primer integral iz korena x).

Kje lahko rešim kakršno koli nalogo iz matematike, pa tudi x koren iz x antiderivacije na spletu?

Na naši spletni strani lahko rešite problem x koren iz x antiizpeljave. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletni problem katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite, kako pravilno vnesti svojo nalogo na naši spletni strani. In če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v klepetu v spodnjem levem kotu strani kalkulatorja.

Opredelitev antiderivacijske funkcije

• funkcija y=F(x) se imenuje antiderivacija za funkcijo y=f(x) v določenem intervalu X,če za vse X ∈X enakost velja: F′(x) = f(x)

Lahko se bere na dva načina:

1. f izpeljanka funkcije F
2. F antiderivat za funkcijo f

lastnost antiizpeljank

• če F(x)- protiizpeljava za funkcijo f(x) na danem intervalu ima funkcija f(x) neskončno veliko protiodvodov in vse te protiodvode lahko zapišemo kot F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafi vseh antiodvodov dane funkcije f(x) so pridobljeni iz grafa katere koli antiizpeljave z vzporednimi translacijami vzdolž osi O pri.

Pravila za računanje protiodpeljav

1. Protiodvod vsote je enak vsoti protiodvodov. če F(x)- primitivno za f(x) in G(x) je antiizpeljanka za g(x), To F(x) + G(x)- primitivno za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda. če F(x)- primitivno za f(x), In k je torej konstantna kF(x)- primitivno za kf(x).
3. če F(x)- primitivno za f(x), In k,b- trajno in k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- primitivno za f(kx + b).

Ne pozabite!

Katera koli funkcija F (x) \u003d x 2 + C , kjer je C poljubna konstanta in samo taka funkcija je antiderivacija za funkcijo f(x) = 2x.

• Na primer:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, Ker F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, Ker F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Povezava med grafoma funkcije in njenega protiodvoda:

1. Če graf funkcije f(x)>0 na intervalu, nato pa graf njegovega antiodvoda F(x) v tem intervalu narašča.
2. Če graf funkcije f(x) na intervalu, nato graf njegovega antiodvoda F(x) se v tem intervalu zmanjša.
3. če f(x)=0, nato graf njegove antiizpeljave F(x) na tej točki se spremeni iz naraščajočega v padajoče (ali obratno).

Za označevanje antiizpeljave se uporablja predznak nedoločenega integrala, to je integral brez navedbe meja integracije.

Nedoločen integral

Opredelitev:

• Nedoločen integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, to je množica vseh antiodvodov dane funkcije f(x). Nedoločen integral je označen takole: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) se imenuje integrand;
• f(x) dx- se imenuje integrand;
• x- se imenuje spremenljivka integracije;
• F(x)- eden od antiodvodov funkcije f(x);
• Z je poljubna konstanta.

Lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda lahko vzamemo iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral vsote (razlike) funkcij je enaka vsoti(razlike) integralov teh funkcij: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. če k,b so konstante in k ≠ 0, potem \int f(kx + b) dx = \frac ( 1 ) ( k ) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela protiodvodov in nedoločenih integralov

funkcija f(x)	protiizpeljanka F(x) + C	Nedoločeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\ne =-1	F(x) = \frac (x^ (m+1)) (m+1) + C	\int x ( ^m ) dx = \frac ( x^ ( m+1 ) ) ( m+1 ) + C
f(x) = \frac (1) (x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( x ) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e ( ^x ) dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac ( a^x ) ( lna ) + C	\int a ( ^x ) dx = \frac ( a^x ) ( l na ) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac (1) (\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = -\ctg x + C
f(x) = \frac (1) (\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sin ( ^2 ) x ) = \tg x + C
f(x) = \sqrt (x)	F(x) =\frac ( 2x \sqrt ( x ) ) ( 3 ) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (x))	F(x) =2\sqrt (x) + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1-x^2 ) ) =\arcsin x + C
f(x) =\frac (1) (\sqrt (1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( 1+x^2 ) ) =\arctg x + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2-x^2 ) ) =\arcsin \frac ( x ) ( a ) + C
f(x)=\frac (1) (\sqrt (a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac ( x ) ( a ) + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( a^2+x^2 ) ) = \frac ( 1 ) ( a ) \arctg \frac ( x ) ( a ) + C
f(x) =\frac (1) (1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac ( dx ) ( 1+x^2 ) =\arctg + C
f(x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) (a \not= 0)	F(x)=\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sqrt ( x^2-a^2 ) ) =\frac ( 1 ) ( 2a ) l n \lvert \frac ( x-a ) ( x+a ) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \sin x ) = l n \lvert \tg \frac ( x ) ( 2 ) \rvert + C
f(x)=\frac (1) (\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C	\int \frac ( dx ) ( \cos x ) = l n \lvert \tg (\frac ( x ) ( 2 ) +\frac ( \pi ) ( 4 )) \rvert + C

Newton-Leibnizova formula

Pustiti f(x) dano funkcijo, F njegova samovoljna primitivnost.

\int_ (a) ^ (b) f(x) dx =F(x)|_ (a) ^ (b)= F(b) - F(a)

Kje F(x)- primitivno za f(x)

To je integral funkcije f(x) na intervalu je enaka razliki protiodvodov v točkah b in a.

Območje krivolinijskega trapeza

Krivočrtni trapez se imenuje figura, omejena z grafom nenegativne in zvezne funkcije na segmentu f, os Ox in ravne črte x = a in x = b.

Območje krivolinijskega trapeza se določi z uporabo Newton-Leibnizove formule:

S= \int_ (a) ^ (b) f(x) dx