Pri gradnji diagrami upogibnih momentovM pri gradbeniki sprejeto: ordinate, izražene v določenem merilu pozitivno vrednosti upogibnih momentov, odložite raztegnjen vlaknin, tj. - pot navzdol, a negativno - gor od osi žarka. Zato pravijo, da gradbeniki gradijo diagrame na raztegnjenih vlaknih. Mehanika Narisane so pozitivne vrednosti strižne sile in upogibnega momenta gor. Mehaniki gradijo diagrame na stisnjen vlakna.

Glavne napetosti pri upogibanju. Ekvivalentne napetosti.

V splošnem primeru neposrednega upogibanja v prerezih žarka, normalno in tangenteNapetost. Te napetosti razlikujejo po dolžini in višini grede.

Tako je v primeru upogibanja ravninsko napetostno stanje.

Razmislite o shemi, kjer je žarek obremenjen s silo P

Največja normalnost stresi se pojavljajo v ekstremno, točke, ki so najbolj oddaljene od nevtralne črte, in v njih ni strižnih napetosti. Torej za ekstremno vlakna glavne napetosti, ki niso nič, so normalne napetosti v prerezu.

Na ravni nevtralne črte v prerezu žarka nastanejo največje strižne napetosti, a normalne napetosti so nič. pomeni v vlakninah nevtralen plast glavne napetosti so določene z vrednostmi strižnih napetosti.

V tem shema izračuna zgornja vlakna žarka bodo napeta, spodnja vlakna pa stisnjena. Za določitev glavnih napetosti uporabimo dobro znani izraz:

Poln analiza stresnega stanja prisoten na sliki.

Analiza napetostnega stanja pri upogibu

Največja glavna napetost σ 1 se nahaja vrh ekstremna vlakna in je enak nič na spodnjih skrajnih vlaknih. Glavna napetost σ 3 Ima največja absolutna vrednost na spodnjih vlaknih.

Trajektorija glavne napetosti odvisno od vrsto obremenitve in način pritrditve žarka.

Pri reševanju problemov je dovolj ločeno preveriti normalno in ločene strižne napetosti. Vendar včasih najbolj stresno izkaže se vmesni vlakna, ki imajo tako normalne kot strižne napetosti. To se dogaja na odsekih, kjer tako upogibni moment kot strižna sila dosežeta velike vrednosti - to je lahko v zaključku konzolnega nosilca, na nosilcu nosilca s konzolo, v odsekih pod koncentrirano silo ali v odsekih z močno spreminjajočo se širino. Na primer, v I-prerezu, najbolj nevaren stik stene s polico- obstajajo pomembne in normalne ter strižne napetosti.

Material je v ravninskem napetostnem stanju in zahteva preskus ekvivalentne napetosti.

Trdnostni pogoji za nosilce iz nodularnih materialov na tretji(teorije največjih tangencialnih napetosti) in četrti(teorija energijskih sprememb oblike) teorije trdnosti.

Praviloma pri valjanih nosilcih ekvivalentne napetosti ne presegajo normalnih napetosti v najbolj oddaljenih vlaknih in ni potrebno posebno preverjanje. Druga stvar - kompozitni kovinski nosilci, ki tanjša stena kot pri valjanih profilih na enaki višini. Pogosteje se uporabljajo varjeni sovprežni nosilci iz jeklene pločevine. Izračun takšnih žarkov za trdnost: a) izbira preseka - višina, debelina, širina in debelina tetiv žarka; b) preskus trdnosti za normalne in strižne napetosti; c) preverjanje trdnosti z enakovrednimi napetostmi.

Določanje strižnih napetosti v I-prerezu. Razmislite o razdelku I-žarek. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx=2030 cm 4; Q=200 kN

Za določitev strižne napetosti se uporablja formula, kjer je Q prečna sila v preseku, S x 0 je statični moment dela prečni prerez, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, I x je vztrajnostni moment celotnega prečnega prereza, b je širina odseka na mestu, kjer je določena strižna napetost

Izračunaj maksimum strižna napetost:

Izračunajmo statični moment za najvišja polica:

Zdaj pa izračunajmo strižne napetosti:

Gradimo diagram strižne napetosti:

Razmislite o odseku standardnega profila v obrazcu I-žarek in opredeliti strižne napetosti ki deluje vzporedno s prečno silo:

Izračunaj statični momenti preproste figure:

To vrednost je mogoče tudi izračunati drugače, ob upoštevanju dejstva, da je za I-nosilec in prerez korita statični moment polovice prereza podan hkrati. Da bi to naredili, je treba od znane vrednosti statičnega momenta odšteti vrednost statičnega momenta na črto A 1 B 1:

Strižne napetosti na spoju prirobnice s steno se spremenijo spazmodično, Ker ostro debelina stene se spreminja od t st prej b.

Grafe strižnih napetosti v stenah koritastih, votlih pravokotnih in drugih prerezov imajo enako obliko kot pri I-prerezu. Formula vključuje statični moment osenčenega dela prereza glede na os X, imenovalec pa je širina (neto) prereza v sloju, kjer se določa strižna napetost.

Določimo strižne napetosti za krožni odsek.

Ker morajo biti tangencialne napetosti na konturi odseka usmerjene tangentna na konturo, nato na točkah AMPAK in AT na koncih katere koli tetive, ki je vzporedna s premerom AB, strižne napetosti so usmerjene pravokotno na polmere OA in OV. Posledično smeri strižne napetosti v točkah AMPAK, VC konvergirati na neki točki H na osi Y.

Statični moment odrezanega dela:

To pomeni, da se strižne napetosti spreminjajo glede na parabolični zakona in bo največji na ravni nevtralne črte, ko y 0 =0

Formula za določanje strižnih napetosti (formula)

Razmislite o pravokotnem odseku

Na daljavo ob 0 narisati iz osrednje osi razdelek 1-1 in določiti strižne napetosti. Statični trenutek območje odrezan del:

Upoštevati je treba, da v osnovi enak, vzemite statični moment območja v senci ali počitek prečni prerez. Oba statična momenta enak in nasproten predznak, torej oni vsota, ki predstavlja statični moment območja celotnega odseka glede na nevtralno črto, in sicer središčno os x, bo enako nič.

Vztrajnostni moment pravokotni odsek:

Potem strižne napetosti po formuli

Spremenljivka y 0 je vključena v formulo med drugo stopinj, tj. strižne napetosti v pravokotnem odseku se spreminjajo z zakon kvadratne parabole.

Dosežena strižna napetost maksimum v višini nevtralne črte, tj. kdaj y 0 =0:

, kje A je območje celotnega odseka.

Trdnostni pogoj za strižne napetosti izgleda kot:

, kje S x 0 je statični moment dela prečnega prereza, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri so določene strižne napetosti, jaz x je vztrajnostni moment celotnega preseka, b- širina preseka na mestu določanja strižne napetosti, Q- prečna sila, τ - strižna napetost, [τ] — dovoljena strižna napetost.

Ta pogoj trdnosti omogoča proizvodnjo tri vrsta izračuna (trije tipi problemov pri trdnostni analizi):

1. Preveritveni izračun ali preskus trdnosti za strižne napetosti:

2. Izbira širine preseka (za pravokotni presek):

3. Določitev dovoljene prečne sile (za pravokotni odsek):

Za določitev tangente napetosti, razmislite o nosilcu, obremenjenem s silami.

Naloga določanja napetosti je vedno statično nedoločen in zahteva sodelovanje geometrijski in fizično enačbe. Vendar pa lahko vzamete hipoteze o naravi porazdelitve napetosti da bo naloga postala statično določena.

Izbereta se dva neskončno blizu prereza 1-1 in 2-2 dz element, narišite ga v velikem merilu, nato narišite vzdolžni prerez 3-3.

V razdelkih 1–1 in 2–2, normalne σ 1 , σ 2 napetosti, ki so določene z dobro znanimi formulami:

kje M - upogibni moment v prerezu dM - prirastek upogibni moment na dolžini dz

Strižna sila v odsekih 1–1 in 2–2 je usmerjen vzdolž glavne osrednje osi Y in očitno predstavlja vsota navpičnih komponent notranjih strižnih napetosti, porazdeljenih po prerezu. Pri trdnosti materialov se običajno vzame predpostavka njihove enakomerne porazdelitve po širini odseka.

Za določitev velikosti strižnih napetosti na kateri koli točki prečnega prereza, ki se nahaja na razdalji ob 0 od nevtralne osi X skozi to točko narišite ravnino, vzporedno z nevtralno plastjo (3-3), in odstranite odrezani element. Določili bomo napetost, ki deluje na mestu ABSD.

Projicirajmo vse sile na os Z

Rezultanta notranjih vzdolžnih sil vzdolž desne strani bo enaka:

kje A 0 je površina sprednje strani fasade, S x 0 je statični moment odrezanega dela glede na os X. Podobno na levi strani:

Oba rezultata usmerjen proti drug drugega, ker je element v stisnjen območje žarka. Njihova razlika je uravnotežena s tangencialnimi silami na spodnji strani 3-3.

Pretvarjajmo se, da strižne napetosti τ porazdeljeno po širini prečnega prereza nosilca b enakomerno. Ta predpostavka je tem bolj verjetna, čim manjša je širina v primerjavi z višino odseka. Potem rezultanta tangencialnih sil dT je enaka vrednosti napetosti, pomnoženi s površino obraza:

Sestavite zdaj ravnotežna enačba Σz=0:

ali od kod

Spomnimo se diferencialne odvisnosti, po katerem Nato dobimo formulo:

Ta formula se imenuje formule. Ta formula je bila pridobljena leta 1855. Tukaj S x 0 - statični moment dela preseka, ki se nahaja na eni strani plasti, v kateri se določajo strižne napetosti, I x - vztrajnostni moment celoten prerez b - širina preseka kjer se določi strižna napetost, Q - prečna sila v razdelku.

je pogoj za upogibno trdnost, kje

- največji moment (modulo) iz diagrama upogibnih momentov; - modul osnega prereza, geometrijski značilnost; - dovoljena napetost (σadm)

- največji normalni stres.

Če izračun temelji na metoda mejnega stanja, potem se v izračunu namesto dovoljene napetosti uvede konstrukcijska odpornost materiala R.

Vrste izračunov upogibne trdnosti

1. Preverjanje izračun ali preverjanje normalne napetostne trdnosti

2. Projekt izračun oz izbira odseka

3. Opredelitev dovoljeno obremenitve (opredelitev dvižna zmogljivost in ali operativno nosilec zmogljivosti)

Pri izpeljavi formule za izračun normalnih napetosti upoštevajte tak primer upogibanja, ko se notranje sile v odsekih žarka zmanjšajo le na upogibni moment, a prečna sila je nič. Ta primer upogibanja se imenuje čisto upogibanje. Razmislite o srednjem delu nosilca, ki je podvržen čistemu upogibanju.

Pri obremenitvi se nosilec upogne tako, da ga spodnja vlakna se podaljšajo, zgornja pa skrajšajo.

Ker so nekatera vlakna žarka raztegnjena in nekatera stisnjena, pride do prehoda iz napetosti v stiskanje gladko, brez skokov, v sredina del žarka je plast, katere vlakna se samo upognejo, vendar ne doživljajo niti napetosti niti stiskanja. Takšna plast se imenuje nevtralen plast. Črta, vzdolž katere se nevtralna plast seka s prerezom žarka, se imenuje nevtralna linija oz nevtralna os razdelki. Na osi žarka so nanizane nevtralne črte. nevtralna linija je vrstica, v kateri normalne napetosti so nič.

Črte, narisane na stranski površini žarka pravokotno na os, ostanejo stanovanje pri upogibanju. Ti eksperimentalni podatki omogočajo izpeljavo formul hipoteza ravnih prerezov (hipoteza). Po tej hipotezi so odseki žarka ravni in pravokotni na svojo os pred upogibanjem, ostanejo ravni in postanejo pravokotni na upognjeno os žarka, ko se upogne.

Predpostavke za izpeljavo formul normalnega stresa: 1) Hipoteza ravnih odsekov je izpolnjena. 2) Vzdolžna vlakna ne pritiskajo druga na drugo (hipoteza brez tlaka), zato je vsako od vlaken v stanju enoosne napetosti ali stiskanja. 3) Deformacije vlaken niso odvisne od njihovega položaja po širini odseka. Posledično normalne napetosti, ki se spreminjajo po višini preseka, ostanejo enake po širini. 4) Žarek ima vsaj eno simetrijsko ravnino in to je vse zunanje sile ležijo v tej ravnini. 5) Material žarka upošteva Hookov zakon, modul elastičnosti pri napetosti in stiskanju pa je enak. 6) Razmerja med dimenzijami žarka so taka, da deluje pod pogoji ravno krivino brez upogibanja ali zvijanja.

Razmislite o žarku poljubnega preseka, vendar s simetrično osjo. Upogibni moment predstavlja rezultantni moment notranjih normalnih sil ki nastanejo na neskončno majhnih površinah in jih je mogoče izraziti z integral oblika: (1), kjer je y krak elementarne sile glede na os x

Formula (1) izraža statična stran problema upogibanja ravne palice, vendar vzdolž nje glede na znani upogibni moment nemogoče je določiti normalne napetosti, dokler ni ugotovljen zakon njihove porazdelitve.

Izberite žarke v srednjem delu in razmislite odsek dolžine dz, podvržen upogibanju. Povečajmo ga.

Odseki, ki omejujejo odsek dz, vzporedni drug z drugim pred deformacijo, in po uporabi obremenitve obrnejo svoje nevtralne črte pod kotom . Dolžina segmenta vlaken nevtralne plasti se ne bo spremenila. in bo enako: , kje je polmer zakrivljenosti ukrivljena os žarka. Toda katera koli druga vlakna ležijo spodaj ali zgoraj nevtralni sloj, bo spremenil svojo dolžino. Izračunaj relativni raztezek vlaken, ki se nahajajo na razdalji y od nevtralne plasti. Relativni raztezek je razmerje med absolutno deformacijo in prvotno dolžino, potem:

Zmanjšamo in zmanjšamo podobne člene, potem dobimo: (2) Ta formula izraža geometrijski stran problema čistega upogibanja: deformacije vlaken so neposredno sorazmerne z njihovimi razdaljami od nevtralne plasti.

Zdaj pa preidimo na poudarja, tj. bomo razmislili fizično stran naloge. v skladu z predpostavka brez pritiska vlakna se uporabljajo pri aksialni napetosti-stiskanju: nato ob upoštevanju formule (2) imamo (3), tiste. običajni stresi pri upogibanju po višini odseka se porazdelijo po linearnem zakonu. Na skrajnih vlaknih normalne napetosti dosežejo največjo vrednost, v težišču pa so preseki enaki nič. Nadomestek (3) v enačbo (1) in vzamemo ulomek iz znaka integrala kot konstantno vrednost, potem imamo . Toda izraz je aksialni vztrajnostni moment preseka okoli osi x - jaz x. Njegova dimenzija cm 4, m 4

Potem ,kje (4) , kjer je ukrivljenost upognjene osi nosilca, a je togost odseka nosilca med upogibanjem.

Zamenjajte dobljeni izraz ukrivljenost (4) v izraz (3) in dobiš formula za izračun normalnih napetosti na kateri koli točki prečnega prereza: (5)

to. maksimum nastanejo stresi na točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne črte. Odnos (6) klical modul osnega prereza. Njegova dimenzija cm 3, m 3. Trenutek upora označuje vpliv oblike in dimenzij preseka na velikost napetosti.

Potem maksimalne napetosti: (7)

Stanje upogibne trdnosti: (8)

Med prečnim upogibanjem ne samo normalne, ampak tudi strižne napetosti, Ker na voljo strižna sila. Strižne napetosti zapletejo sliko deformacije, vodijo do ukrivljenost prerezov žarka, zaradi česar hipoteza ravnih odsekov je kršena. Vendar študije kažejo, da popačenja, ki jih povzročajo strižne napetosti malce vplivajo na normalne napetosti, izračunane po formuli (5) . Tako pri določanju normalnih napetosti v primeru prečni upogib teorija čistega upogibanja je povsem uporabna.

Nevtralna linija. Vprašanje o položaju nevtralne črte.

Brez upogibanja vzdolžna sila, da lahko pišemo Tukaj nadomestite formulo za normalne napetosti (3) in dobiš Ker modul elastičnosti materiala nosilca ni enak nič in ima upognjena os nosilca končen polmer ukrivljenosti, ostane predpostavka, da je ta integral statični moment območja presek žarka glede na nevtralno črto os x , in od takrat je enaka nič, potem gre nevtralna črta skozi težišče odseka.

Pogoj (odsotnost momenta notranjih sil glede na poljsko črto) bo dal ali ob upoštevanju (3) . Iz istih razlogov (glej zgoraj) . V integrandu - centrifugalni vztrajnostni moment odseka okoli osi x in y je enak nič, torej so te osi glavni in osrednji in se naliči naravnost kotiček. Posledično močnostna in nevtralna črta v ravnem ovinku sta medsebojno pravokotni.

Z nastavitvijo položaj nevtralne linije, enostaven za gradnjo normalni diagram napetosti po višini odseka. Njo linearni značaj je določen enačba prve stopnje.

Narava diagrama σ za simetrične odseke glede na nevtralno črto, M<0

10.1. Splošni pojmi in definicije

bend- to je vrsta obremenitve, pri kateri je palica obremenjena z momenti v ravninah, ki potekajo skozi vzdolžno os palice.

Palica, ki deluje pri upogibanju, se imenuje žarek (ali drog). V prihodnje bomo obravnavali ravne nosilce, katerih presek ima vsaj eno simetrično os.

Pri odpornosti materialov je upogibanje ravno, poševno in kompleksno.

ravno krivino- upogib, pri katerem vse sile, ki upogibajo nosilec, ležijo v eni od ravnin simetrije nosilca (v eni od glavnih ravnin).

Glavne vztrajnostne ravnine nosilca so ravnine, ki potekajo skozi glavne osi prerezov in geometrijsko os nosilca (x os).

poševni ovinek- upogibanje, pri katerem obremenitve delujejo v eni ravnini, ki ne sovpada z glavnimi vztrajnostnimi ravninami.

Kompleksni ovinek- upogib, pri katerem obremenitve delujejo v različnih (poljubnih) ravninah.

10.2. Določanje notranjih upogibnih sil

Razmislimo o dveh značilnih primerih upogiba: v prvem primeru je konzolni nosilec upognjen s koncentriranim momentom Mo; v drugi pa s koncentrirano silo F.

Z metodo miselnih prerezov in sestavljanjem ravnotežnih enačb za odrezane dele nosilca določimo notranje sile v obeh primerih:

Ostale ravnotežne enačbe so očitno identično enake nič.

Tako v splošnem primeru ravnega upogiba v odseku nosilca od šestih notranjih sil nastaneta dve - upogibni moment Mz in strižna sila Qy (ali pri upogibanju okoli druge glavne osi - upogibni moment My in prečna sila Qz).

V tem primeru lahko v skladu z dvema obravnavanima primeroma obremenitve ravno upogibanje razdelimo na čisto in prečno.

Čisti ovinek- ravno upogibanje, pri katerem se v odsekih palice pojavi samo ena od šestih notranjih sil - upogibni moment (glej prvi primer).

prečni zavoj- upogibanje, pri katerem se poleg notranjega upogibnega momenta v odsekih palice pojavi tudi prečna sila (glej drugi primer).

Strogo gledano, samo čisti upogib spada med preproste vrste upora; prečno upogibanje pogojno imenujemo preproste vrste upora, saj je v večini primerov (za dovolj dolge nosilce) mogoče zanemariti delovanje prečne sile pri izračunih trdnosti.

Pri določanju notranjih sil se bomo držali naslednjega pravila znakov:

1) prečna sila Qy se šteje za pozitivno, če teži k vrtenju zadevnega žarkovnega elementa v smeri urinega kazalca;

2) upogibni moment Mz velja za pozitivnega, če so zgornja vlakna elementa stisnjena, spodnja vlakna pa raztegnjena (pravilo dežnika), ko je element žarka upognjen.

Tako bo rešitev problema določanja notranjih sil med upogibanjem zgrajena po naslednjem načrtu: 1) na prvi stopnji, ob upoštevanju ravnotežnih pogojev konstrukcije kot celote, po potrebi določimo neznane reakcije podpor (upoštevajte, da so pri konzolnem nosilcu reakcije v vgradnji lahko in ne najdene, če upoštevamo nosilec s prostega konca); 2) na drugi stopnji izberemo značilne odseke žarka, pri čemer kot meje odsekov vzamemo točke uporabe sil, točke spremembe oblike ali dimenzij žarka, točke pritrditve žarka; 3) na tretji stopnji določimo notranje sile v odsekih nosilca ob upoštevanju ravnotežnih pogojev za elemente nosilca v vsakem od odsekov.

10.3. Diferencialne odvisnosti pri upogibanju

Vzpostavimo nekaj razmerij med notranjimi silami in zunanjimi upogibnimi obremenitvami ter značilnostmi diagramov Q in M, katerih poznavanje bo olajšalo izdelavo diagramov in vam omogočilo nadzor nad njihovo pravilnostjo. Za lažje zapisovanje bomo označili: M≡Mz, Q≡Qy.

Dodelimo majhen element dx v odseku nosilca s poljubno obremenitvijo na mestu, kjer ni koncentriranih sil in momentov. Ker je celoten nosilec v ravnotežju, bo tudi element dx v ravnotežju pod vplivom prečnih sil, ki delujejo nanj, upogibnih momentov in zunanje obremenitve. Ker se Q in M ​​na splošno spreminjata

osi žarka, potem bodo v odsekih elementa dx prečne sile Q in Q + dQ ter upogibni momenti M in M ​​+ dM. Iz pogoja ravnovesja izbranega elementa dobimo

Prva od obeh zapisanih enačb podaja pogoj

Iz druge enačbe, pri čemer zanemarimo člen q dx (dx/2) kot infinitezimalno količino drugega reda, najdemo

Ob upoštevanju izrazov (10.1) in (10.2) skupaj lahko dobimo

Relacije (10.1), (10.2) in (10.3) imenujemo diferencialne odvisnosti D. I. Zhuravskega pri upogibanju.

Analiza zgornjih diferencialnih odvisnosti pri upogibanju nam omogoča, da določimo nekatere značilnosti (pravila) za izdelavo diagramov upogibnih momentov in strižnih sil: a - na območjih, kjer ni porazdeljene obremenitve q, so diagrami Q omejeni na ravne črte, vzporedne z osnova, diagrami M pa so nagnjene ravne črte; b - v odsekih, kjer na nosilec deluje porazdeljena obremenitev q, so diagrami Q omejeni z nagnjenimi ravnimi črtami, diagrami M pa s kvadratnimi parabolami.

V tem primeru, če zgradimo diagram M "na raztegnjenem vlaknu", bo konveksnost parabole usmerjena v smeri delovanja q, ekstrem pa bo v odseku, kjer diagram Q seka osnovo linija; c - v odsekih, kjer na žarek deluje koncentrirana sila, bodo na diagramu Q skoki za vrednost in v smeri te sile, na diagramu M pa pregibi, konica je usmerjena v tej smeri sila; d - v odsekih, kjer se na žarek nanaša koncentrirani moment, na diagramu Q ne bo sprememb, na diagramu M pa bodo skoki za vrednost tega trenutka; e - v odsekih, kjer Q>0, se trenutek M poveča, v odsekih, kjer je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalne napetosti pri čistem upogibu ravnega nosilca

Oglejmo si primer čistega ravninskega upogiba nosilca in izpeljimo formulo za določitev normalnih napetosti za ta primer.

Upoštevajte, da je v teoriji elastičnosti mogoče dobiti natančno odvisnost normalnih napetosti pri čistem upogibanju, vendar če želite rešiti ta problem z metodami odpornosti materialov, je treba uvesti nekaj predpostavk.

Obstajajo tri takšne hipoteze za upogibanje:

a - hipoteza ravnih presekov (Bernoullijeva hipoteza) - preseki so ravni pred deformacijo in po deformaciji ostanejo ravni, vrtijo pa se le okoli določene premice, ki jo imenujemo nevtralna os prečnega prereza. V tem primeru bodo vlakna žarka, ki ležijo na eni strani nevtralne osi, raztegnjena, na drugi pa stisnjena; vlakna, ki ležijo na nevtralni osi, ne spremenijo svoje dolžine;

b - hipoteza o konstantnosti normalnih napetosti - napetosti, ki delujejo na enaki razdalji y od nevtralne osi, so konstantne po širini žarka;

c – hipoteza o odsotnosti bočnih pritiskov – sosednja vzdolžna vlakna ne pritiskajo druga na drugo.

Statična stran problema

Za določitev napetosti v prerezih žarka najprej upoštevamo statične strani problema. Z metodo miselnih prerezov in sestavljanjem ravnotežnih enačb za odrezani del nosilca ugotovimo notranje sile pri upogibu. Kot je bilo prikazano prej, je edina notranja sila, ki deluje v odseku palice pri čistem upogibanju, notranji upogibni moment, kar pomeni, da bodo tukaj nastale normalne napetosti, povezane z njim.

Povezavo med notranjimi silami in normalnimi napetostmi v prerezu nosilca najdemo tako, da upoštevamo napetosti na elementarni površini dA, izbrani v prerezu A nosilca v točki s koordinatama y in z (os y je zaradi lažjega usmerjena navzdol). analize):

Kot lahko vidimo, je problem notranje statično nedoločen, saj narava porazdelitve normalnih napetosti po prerezu ni znana. Za rešitev problema upoštevajte geometrijski vzorec deformacij.

Geometrična stran problema

Razmislite o deformaciji nosilnega elementa dolžine dx, izbranega iz upogibne palice v poljubni točki s koordinato x. Ob upoštevanju prej sprejete hipoteze ravnih odsekov se po upogibanju odseka nosilca obrne glede na nevtralno os (n.r.) za kot dϕ, vlakno ab, ki je na razdalji y od nevtralne osi, pa se obrne v krožni lok a1b1, njegova dolžina pa se bo spremenila za določeno velikost. Tukaj se spomnimo, da se dolžina vlaken, ki ležijo na nevtralni osi, ne spremeni, zato ima lok a0b0 (polmer ukrivljenosti, ki ga označimo z ρ) enako dolžino kot segment a0b0 pred deformacijo a0b0=dx.

Poiščimo relativno linearno deformacijo εx vlakna ab ukrivljenega nosilca.

štetje žarek za upogibanje obstaja več možnosti:
1. Izračun največje obremenitve, ki jo bo prenesel
2. Izbira odseka tega žarka
3. Izračun največjih dovoljenih napetosti (za preverjanje)
razmislimo splošno načelo izbire odseka žarka na dveh nosilcih, obremenjenih z enakomerno porazdeljeno obremenitvijo ali zgoščeno silo.
Za začetek boste morali najti točko (odsek), kjer bo največji trenutek. Odvisno je od podpore žarka ali njegovega zaključka. Spodaj so diagrami upogibnih momentov za sheme, ki so najpogostejše.

Po ugotovitvi upogibnega momenta moramo najti modul Wx tega odseka po formuli, navedeni v tabeli:

Nadalje, če največji upogibni moment delimo s trenutkom upora v danem odseku, dobimo največja napetost v žarku in to obremenitev moramo primerjati z obremenitvijo, ki jo na splošno lahko prenese naš žarek iz danega materiala.

Za plastične materiale(jeklo, aluminij itd.) bo največja napetost enaka trdnost materiala, a za krhko(lito železo) - natezno trdnost. Mejo tečenja in natezno trdnost najdemo iz spodnjih tabel.

Oglejmo si nekaj primerov:
1. [i] Želite preveriti, ali vas I-nosilec št. 10 (jeklo St3sp5) dolžine 2 metrov, togo vdelan v steno, zdrži, če na njem visi. Naj bo vaša masa 90 kg.
Najprej moramo izbrati shemo izračuna.

Ta diagram kaže, da bo največji trenutek v zaključku, in ker ima naš I-žarek isti del po celotni dolžini, potem bo največja napetost v zaključku. Poiščimo ga:

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

Glede na sortimentno tabelo I-žarka najdemo trenutek odpornosti I-žarka št. 10.

To bo enako 39,7 cm3. Pretvorite v kubične metre in dobite 0,0000397 m3.
Nadalje po formuli najdemo največje napetosti, ki jih imamo v žarku.

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

Ko smo ugotovili največjo napetost, ki se pojavi v nosilcu, jo lahko primerjamo z največjo dovoljeno napetostjo, ki je enaka meji tečenja jekla St3sp5 - 245 MPa.

45,34 MPa - desno, tako da lahko ta I-žarek prenese težo 90 kg.

2. [i] Ker smo dobili kar veliko zalogo, bomo rešili drugi problem, v katerem bomo našli največjo možno maso, ki jo lahko prenese isti I-nosilec št. 10, dolg 2 metra.
Če želimo najti največjo maso, moramo vrednosti meje tečenja in napetosti, ki se bodo pojavile v žarku, izenačiti (b \u003d 245 MPa \u003d 245.000 kN * m2).

1. Neposredno čisto upogibanje Prečno upogibanje - deformacija palice s silami, pravokotnimi na os (prečno), in s pari, katerih ravnine delovanja so pravokotne na normalne odseke. Palica, ki se upogne, se imenuje tram. Pri neposrednem čistem upogibanju se v preseku palice pojavi samo en faktor sile - upogibni moment Mz. Ker je Qy=d. Mz/dx=0, nato Mz=const in čisti neposredni upogib se lahko realizira, ko je palica obremenjena s pari sil, ki delujejo na končnih odsekih palice. σ Ker je upogibni moment Mz po definiciji enak vsoti momentov notranjih sil okoli osi Oz z normalnimi napetostmi, ga povezuje enačba statike, ki izhaja iz te definicije:

Analiza napetostnega stanja pri čistem upogibu Analizirajmo deformacije modela palice, na stranski površini katere je nanešena mreža vzdolžnih in prečnih prask: hipoteze ravnih prerezov in s tem Merjenje spremembe razdalj med vzdolžnimi nevarnostmi. , pridemo do zaključka, da je hipoteza o netlačenju vzdolžnih vlaken pravilna, torej da je od vseh komponent napetostnega tenzorja pri čistem upogibu le napetost σx=σ in čisti ravni upogib prizmatične palica ni ničelna, zmanjša se na enoosno napetost ali stiskanje vzdolžnih vlaken z napetostmi σ. V tem primeru je del vlaken v natezni coni (na sliki so to spodnja vlakna), drugi del pa v kompresijski coni (zgornja vlakna). Ta območja so ločena z nevtralno plastjo (n-n), ki ne spreminja svoje dolžine, napetosti v kateri so enake nič.

Pravilo predznakov upogibnih momentov Pravila predznakov momentov pri problemih teoretične mehanike in trdnosti materialov ne sovpadajo. Razlog za to je razlika v obravnavanih procesih. V teoretični mehaniki je obravnavani proces gibanje ali ravnovesje togih teles, zato imata dva momenta na sliki, ki težita k obračanju palice Mz v različnih smereh (desni moment je v smeri urinega kazalca, levi moment pa v nasprotni smeri urinega kazalca), drugačna. prijavite se problemi teoretične mehanike. Pri problemih trdnosti materialov se upoštevajo napetosti in deformacije, ki nastanejo v telesu. S tega vidika oba momenta povzročata tlačne napetosti v zgornjih vlaknih, natezne pa v spodnjih vlaknih, zato imata momenta enak predznak. Pravila za znake upogibnih momentov glede na odsek С-С so predstavljena na diagramu:

Izračun vrednosti napetosti pri čistem upogibanju Izpeljimo formule za izračun polmera ukrivljenosti nevtralne plasti in normalnih napetosti v palici. Oglejmo si prizmatično palico v pogojih neposrednega čistega upogiba s presekom, ki je simetričen glede na navpično os Oy. Os Ox postavimo na nevtralno plast, katere lega ni vnaprej znana. Upoštevajte, da konstantnost preseka prizmatične palice in upogibnega momenta (Mz=const) zagotavlja konstantnost polmera ukrivljenosti nevtralne plasti po dolžini palice. Pri upogibanju s konstantno ukrivljenostjo nevtralna plast palice postane lok kroga, omejen s kotom φ. Razmislite o infinitezimalnem elementu dolžine dx, izrezanem iz palice. Ko se upogne, se spremeni v neskončno majhen element loka, omejen z neskončno majhnim kotom dφ. φ ρ dφ Ob upoštevanju odvisnosti med polmerom kroga, kotom in dolžino loka:

Ker so zanimive deformacije elementa, določene z relativnim premikom njegovih točk, se lahko šteje, da je eden od končnih odsekov elementa fiksen. Glede na majhnost dφ predpostavimo, da se točke prečnega prereza, ko se zasukajo skozi ta kot, ne premikajo vzdolž lokov, temveč vzdolž ustreznih tangent. Izračunajmo relativno deformacijo vzdolžnega vlakna AB, odmaknjenega od nevtralne plasti na y: Iz podobnosti trikotnikov COO 1 in O 1 BB 1 sledi, to je: Vzdolžna deformacija se je izkazala za linearno funkcija oddaljenosti od nevtralne plasti, kar je neposredna posledica zakona ravninskih prerezov. Potem bo normalna napetost, natezno vlakno AB, na podlagi Hookovega zakona enaka:

Dobljena formula ni primerna za praktično uporabo, saj vsebuje dve neznanki: ukrivljenost nevtralne plasti 1/ρ in položaj nevtralne osi Ox, od katere se meri koordinata y. Za določitev teh neznank uporabljamo ravnotežne enačbe statike. Prvi izraža zahtevo, da mora biti vzdolžna sila enaka nič Če v to enačbo nadomestimo izraz za σ: in ob upoštevanju tega dobimo: os (os, ki poteka skozi težišče prereza). Zato gre nevtralna os Ox skozi težišče prečnega prereza. Druga ravnotežna enačba statike je tista, ki povezuje normalne napetosti z upogibnim momentom. Če nadomestimo izraz za napetosti v to enačbo, dobimo:

Integral v dobljeni enačbi je bil predhodno preučen: Jz je vztrajnostni moment okoli osi Oz. V skladu z izbranim položajem koordinatnih osi je tudi glavni osrednji vztrajnostni moment preseka. Dobimo formulo za ukrivljenost nevtralne plasti: Ukrivljenost nevtralne plasti 1/ρ je merilo za deformacijo palice pri neposrednem čistem upogibu. Ukrivljenost je tem manjša, čim večja je vrednost EJz, imenovana upogibna togost prereza. Če nadomestimo izraz v formuli za σ, dobimo: Tako so normalne napetosti pri čistem upogibanju prizmatične palice linearna funkcija koordinate y in dosežejo najvišje vrednosti v vlaknih, ki so najbolj oddaljena od nevtralne osi. geometrijsko karakteristiko, ki ima dimenzijo m 3, imenujemo moment upora pri upogibanju.

Določitev upornih momentov Wz presekov - Za najpreprostejše številke v priročniku (predavanje 4) ali izračunajte sami - Za standardne profile v asortimanu GOST

Izračun trdnosti pri čistem upogibu Projektni izračun Pogoj trdnosti pri izračunu čistega upogiba bo imel obliko: iz tega pogoja se določi Wz, nato pa se bodisi izbere želeni profil iz nabora standardnih valjanih izdelkov bodisi dimenzije odseki so izračunani iz geometrijskih odvisnosti. Pri izračunu nosilcev iz krhkih materialov je treba razlikovati med najvišjimi nateznimi in najvišjimi tlačnimi napetostmi, ki se primerjajo z dovoljenimi nateznimi in tlačnimi napetostmi. V tem primeru bosta obstajala dva pogoja trdnosti, ločeno za napetost in stiskanje: Tukaj so dovoljene natezne in tlačne napetosti.

2. Direktni prečni upogib τxy τxz σ Pri neposrednem prečnem upogibu se v prerezih palice pojavita upogibni moment Mz in prečna sila Qy, ki sta povezana z normalnimi in strižnimi napetostmi. , ni uporabna, ker zaradi premikov, ki jih povzročajo strižne napetosti , pride do deformacije (ukrivljenosti) prerezov, to je hipoteza ravnih prerezov je kršena. Vendar pa za nosilce z višino preseka h

Pri izpeljavi trdnostnega pogoja za čisti upogib je bila uporabljena hipoteza o odsotnosti prečne interakcije vzdolžnih vlaken. Pri prečnem upogibanju opazimo odstopanja od te hipoteze: a) na mestih, kjer delujejo koncentrirane sile. Pod koncentrirano silo so lahko napetosti prečne interakcije σy precej velike in večkrat večje od vzdolžnih napetosti, medtem ko se po Saint-Venantovem principu zmanjšujejo z oddaljenostjo od točke delovanja sile; b) na mestih uporabe porazdeljenih obremenitev. Torej, v primeru, prikazanem na sl., napetosti zaradi pritiska na zgornja vlakna žarka. Če jih primerjamo z vzdolžnimi napetostmi σz, ki imajo red velikosti, sklepamo, da so napetosti σy

Izračun strižnih napetosti pri neposrednem prečnem upogibu Predpostavimo, da so strižne napetosti enakomerno porazdeljene po širini prečnega prereza. Napetosti τyx je težko neposredno določiti, zato najdemo njim enake strižne napetosti τxy, ki nastanejo na vzdolžnem območju s koordinato y elementa dolžine dx, izrezanega iz nosilca z x Mz

Od tega elementa odrežemo zgornji del z vzdolžnim prerezom, odmaknjenim od nevtralne plasti za y, in nadomestimo delovanje zavrženega spodnjega dela s tangencialnimi napetostmi τ. Normalne napetosti σ in σ+dσ , ki delujejo na končnih območjih elementa, bodo prav tako nadomeščene z njihovimi rezultantami y Mz τ Mz+d. Mz s ω y z Qy Qy +d. Qy dx Nω+d Nω d. T je statični moment mejnega dela površine prečnega prereza ω okoli osi Oz. Upoštevajte ravnotežni pogoj mejnega elementa tako, da zanj sestavite enačbo statike Nω dx b

od koder se po enostavnih transformacijah glede na to, da dobimo formulo Žuravskega, strižne napetosti vzdolž višine preseka spreminjajo po zakonu kvadratne parabole, dosežejo maksimum na nevtralni osi Mz z v mnogih primerih potekajo v nevtralni plasti, kjer so normalne napetosti enake nič, trdnostni pogoji so v teh primerih formulirani ločeno za normalne in strižne napetosti

3. Sovprežni nosilci pri upogibu Strižne napetosti v vzdolžnih prerezih so izraz obstoječe povezave med plastmi palice pri prečnem upogibu. Če je ta povezava v nekaterih plasteh prekinjena, se narava upogiba palice spremeni. V palici, sestavljeni iz listov, se vsaka plošča upogiba neodvisno brez tornih sil. Upogibni moment je enakomerno porazdeljen med kompozitnimi ploščami. Največja vrednost upogibnega momenta bo na sredini žarka in bo enaka. Mz=P·l. Največja normalna napetost v prečnem prerezu pločevine je:

Če sta pločevini tesno potegnjeni skupaj z dovolj togimi vijaki, se bo palica upognila kot celota. V tem primeru se izkaže, da je največja normalna napetost n-krat manjša, to pomeni, da se v prečnih prerezih vijakov pojavijo prečne sile, ko je palica upognjena. Največja prečna sila bo v odseku, ki sovpada z nevtralno ravnino ukrivljene palice.

To silo lahko določimo iz enakosti vsot prečnih sil v prerezih sornikov in vzdolžne rezultante strižnih napetosti pri celi palici: kjer je m število sornikov. Primerjajmo spremembo ukrivljenosti palice v vgradnji v primeru vezanih in nevezanih paketov. Za vezani snop: Za nevezan snop: Sorazmerno s spremembami ukrivljenosti se spreminjajo tudi upogibi. Tako je niz prosto prepognjenih listov v primerjavi s celo palico n 2-krat bolj prožen in le n-krat manj trden. Ta razlika v koeficientih zmanjšanja togosti in trdnosti pri prehodu na paket listov se v praksi uporablja pri izdelavi prožnih vzmetnih vzmetenja. Sile trenja med ploščami povečajo togost paketa, saj delno obnovijo tangencialne sile med plastmi palice, ki so bile odpravljene pri prehodu na pločevinasti paket. Vzmeti zato zahtevajo mazanje plošč in jih je treba zaščititi pred kontaminacijo.

4. Racionalne oblike prerezov pri upogibanju Najbolj racionalen je tisti prerez, ki ima najmanjšo površino za določeno obremenitev nosilca. V tem primeru bo poraba materiala za izdelavo žarka minimalna. Da bi dobili žarek z minimalno porabo materiala, si je treba prizadevati zagotoviti, da največja količina materiala deluje pri napetostih, ki so enake ali blizu dovoljenih. Najprej mora racionalni prerez žarka pri upogibanju izpolnjevati pogoj enake trdnosti raztegnjenih in stisnjenih območij žarka. To zahteva, da najvišje natezne napetosti in najvišje tlačne napetosti hkrati dosežejo dovoljene napetosti. Pridemo do prereza, ki je racionalen za plastični material v obliki simetričnega I-nosilca, v katerem je morda večina materiala skoncentrirana na policah, povezanih s steno, katere debelina je določena iz pogojev trdnosti stene glede na tangencialne napetosti. . Po kriteriju racionalnosti je tako imenovani škatlasti prerez blizu I-prereza

Za nosilce iz krhkega materiala bo najbolj racionalen odsek v obliki asimetričnega I-žarka, ki izpolnjuje pogoj enake trdnosti napetosti in stiskanja, ki izhaja iz zahteve jekla, kot tudi aluminij in aluminijeve zlitine . a-I-žarek, b-kanal, c - neenak kot, hladno upognjen zaprt d-enakostranični kot. varjeni profili

Hipoteza ravnih prerezov pri upogibanju lahko razložimo s primerom: na stransko površino nedeformiranega nosilca nanesemo mrežo, sestavljeno iz vzdolžnih in prečnih (pravokotno na os) ravnih črt. Zaradi upogiba žarka bodo vzdolžne črte prevzele krivuljasto obliko, medtem ko bodo prečne črte praktično ostale ravne in pravokotne na upognjeno os žarka.

Oblikovanje hipoteze o ravninskem prerezu: prečni prerezi, ki so ravni in pravokotni na os žarka pred, ostanejo ravni in pravokotni na ukrivljeno os, potem ko je bila deformirana.

Ta okoliščina kaže, da ko hipoteza o ravnem prerezu, kot pri in

Poleg hipoteze o ravnih odsekih je postavljena predpostavka: vzdolžna vlakna žarka se ne pritiskajo drug na drugega, ko je upognjen.

Imenujeta se hipoteza ravnih odsekov in predpostavka Bernoullijeva domneva.

Razmislite o žarku s pravokotnim prečnim prerezom, ki doživlja čisti upogib (). Izberimo nosilni element z dolžino (slika 7.8. a). Zaradi upogibanja se bodo prečni prerezi žarka vrteli in tvorili kot. Zgornja vlakna so stisnjena, spodnja pa napetost. Polmer ukrivljenosti nevtralnega vlakna je označen z .

Pogojno menimo, da vlakna spreminjajo svojo dolžino, medtem ko ostanejo ravna (slika 7.8. b). Nato absolutni in relativni raztezek vlakna, odmaknjenega na razdalji y od nevtralnega vlakna:

Pokažimo, da vzdolžna vlakna, ki med upogibanjem žarka ne doživljajo niti napetosti niti stiskanja, potekajo skozi glavno središčno os x.

Ker se dolžina nosilca med upogibanjem ne spremeni, mora biti vzdolžna sila (N), ki nastane v prerezu, enaka nič. Elementarna vzdolžna sila.

Glede na izraz :

Množitelj se lahko vzame iz predznaka integrala (ni odvisen od integracijske spremenljivke).

Izraz predstavlja presek žarka glede na nevtralno os x. Nič je, ko gre nevtralna os skozi težišče prečnega prereza. Posledično gre nevtralna os (ničelna črta), ko je žarek upognjen, skozi težišče prečnega prereza.

Očitno: upogibni moment je povezan z normalnimi napetostmi, ki se pojavijo na točkah prečnega prereza palice. Osnovni upogibni moment, ki ga ustvari elementarna sila:

,

kjer je aksialni vztrajnostni moment prečnega prereza okoli nevtralne osi x, razmerje pa je ukrivljenost osi žarka.

Togost tramovi pri upogibanju(večji kot je, manjši je polmer ukrivljenosti).

Nastala formula predstavlja Hookov zakon pri upogibanju palice: upogibni moment, ki se pojavi v prerezu, je sorazmeren z ukrivljenostjo osi nosilca.

Izražanje iz formule Hookejevega zakona za palico pri upogibanju polmera ukrivljenosti () in zamenjava njegove vrednosti v formuli , dobimo formulo za normalne napetosti () na poljubni točki prečnega prereza nosilca, oddaljeni na razdalji y od nevtralne osi x: .

V formuli za normalne napetosti () na poljubni točki prečnega prereza nosilca je treba nadomestiti absolutne vrednosti upogibnega momenta () in razdaljo od točke do nevtralne osi (koordinate y). . Ali bo napetost na dani točki natezna ali tlačna, je enostavno ugotoviti z naravo deformacije nosilca ali z diagramom upogibnih momentov, katerih ordinate so narisane s strani stisnjenih vlaken nosilca.

Iz formule je razvidno: normalne napetosti () se spreminjajo vzdolž višine prečnega prereza nosilca po linearnem zakonu. Na sl. 7.8 je prikazana ploskev. Največje napetosti med upogibanjem nosilca se pojavijo na točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne osi. Če v prečnem prerezu nosilca narišemo črto, ki je vzporedna z nevtralno osjo x, se v vseh njegovih točkah pojavijo enake normalne napetosti.

Enostavna analiza normalni diagrami napetosti kaže, da ko je žarek upognjen, material, ki se nahaja v bližini nevtralne osi, praktično ne deluje. Zato je za zmanjšanje teže nosilca priporočljivo izbrati oblike prereza, pri katerih je večina materiala odmaknjena od nevtralne osi, kot je na primer I-profil.